Question

Diberikan x bilangan real. Berapa nilai minimum dari ekspresi x^2 - 4x + 3 ? Tolong jelaskan secara jelas dan gampang

Answer 1

Misal, f(x) = x^2 - 4x + 3

tentukan titik ekstrem, gunakan turunan.

f(x) = x^2 - 4x + 3
f'(x) = 2x - 4
f'(x) = 0

2x - 4 = 0
2x = 4
x = 4/2
x = 2

f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3
= 4 - 8 + 3
= -1

Karena hanya didapatkan satu titik, uji pada titik lain untuk menentukan nilainya maksimum atau minimum.

Misal kita uji pada x = 0

f(0) = (0)^2 - 4(0) + 3
= 3

karena -1 < 3 , maka -1 merupakan nilai minimum.

Answer 2

Misalkan persamaan kuadrat itu kita bentuk dalam f(x), maka

f(x) = x² - 4x + 3
Didapatkan nilai a = 1, b = -4, c = 3

Karena a > 0, maka fungsi kuadrat memiliki nilai titik balik minimum dan kurva terbuka keatas

Untuk mencari nilai x sehingga nilai y minimum menggunakan rumus

x = -b/2a

Dengan mensubstitusikan a dan b, maka

x = -(-4)/2(1)
   = 4/2
   = 2

Untuk mendapatkan nilai y, substitusikan nilai x yang telah kita dapatkan (y = f(x))


f(x) = x² - 4x + 3
      = 2² - 4(2) + 3
      = 4 - 8 + 3
      = -1

f(x) minimum = -1

Selain itu, nilai y minimum juga bisa ditentukan dengan rumus a, b, dan c

f(x) = (b² - 4ac)/(-4a)
      = ((-4)² - 4(1)(3))/(-4(1)) 
      = (16 - 12)/(-4)
      = 4/(-4)
      = -1


Cara lain, dengan melengkapkan kuadrat

Kita buat fungsi f(x) dalam kuadrat sempurna, dengan manipulasi aljabar, sehingga

f(x) = x² - 4x + 3
      = (x² - 4x + 4) - 4 + 3           (-4 karena 4 - 4 = 0)
      = (x - 2)² - 1

Fungsi kuadrat berbentuk 
f(x) = a(x - p)² + q memiliki titik balik (p, q), dimana x = p dan y ekstrim = q

Pada hal diatas a = 1, p = 2, dan q = -1

Maka nilai minimum bentuk kuadrat tersebut adalah -1