Diberikan sistem persamaan linier (SPL) sebagai berikut.
8x₁ + x2 + x3 = 4
4x₁ + 5x₂ + x3 = 7
4x₁ + 2x2 + 8x3 = 11
Selesaikanlah SPL tersebut dengan metode Jacobi sampai didapat kesalahan relatif ≤ 5%. Gunakan X(0) = (0, 0, 0) sebagai vektor penyelesaian awal.
8x₁ + x2 + x3 = 4
4x₁ + 5x₂ + x3 = 7
4x₁ + 2x2 + 8x3 = 11
Selesaikanlah SPL tersebut dengan metode Jacobi sampai didapat kesalahan relatif ≤ 5%. Gunakan X(0) = (0, 0, 0) sebagai vektor penyelesaian awal.
Jawaban:
**Penyelesaian:**
Langkah pertama adalah menentukan matriks koefisien dan matriks diagonal dari SPL tersebut.
```
A =
[8 1 1]
[4 5 1]
[4 2 8]
```
```
D =
[8 0 0]
[0 5 0]
[0 2 8]
```
Langkah selanjutnya adalah menentukan vektor iterasi awal, yaitu X(0) = (0, 0, 0).
```
X(0) =
[0]
[0]
[0]
```
Iterasi selanjutnya dilakukan dengan menggunakan persamaan berikut:
```
X(n + 1) = D^(-1) * (b - A * X(n))
```
Berikut adalah tabel iterasi yang dihasilkan:
```
n | X(n)
---|---
0 | (0, 0, 0)
1 | (0.5, 0.3333333333333333, 0.25)
2 | (0.4975, 0.3325, 0.24875)
3 | (0.4975, 0.3325, 0.24875)
```
Dari tabel iterasi tersebut, dapat dilihat bahwa kesalahan relatif pada iterasi ke-3 sudah ≤ 5%. Oleh karena itu, solusi SPL tersebut adalah:
```
X =
[0.4975]
[0.3325]
[0.24875]
```
**Penjelasan:**
Pada iterasi ke-1, vektor iterasi baru dihitung dengan menggunakan persamaan berikut:
```
X(1) = D^(-1) * (b - A * X(0))
```
```
X(1) =
[0.5]
[0.3333333333333333]
[0.25]
```
Pada iterasi ke-2, vektor iterasi baru dihitung dengan menggunakan persamaan berikut:
```
X(2) = D^(-1) * (b - A * X(1))
```
```
X(2) =
[0.4975]
[0.3325]
[0.24875]
```
Kesalahan relatif pada iterasi ke-2 adalah:
```
|X(2) - X(1)| / |X(1)|
```
```
|(0.4975, 0.3325, 0.24875) - (0.5, 0.3333333333333333, 0.25)| / |(0.5, 0.3333333333333333, 0.25)|
```
```
0.0025 / 0.5
```
```
0.05
```
Kesalahan relatif pada iterasi ke-3 adalah:
```
|X(3) - X(2)| / |X(2)|
```
```
|(0.4975, 0.3325, 0.24875) - (0.4975, 0.3325, 0.24875)| / |(0.4975, 0.3325, 0.24875)|
```
```
0 / 0.4975
```
```
0
```
Karena kesalahan relatif pada iterasi ke-3 sudah ≤ 5%, maka iterasi dihentikan dan solusi SPL tersebut adalah X = (0.4975, 0.3325, 0.24875).