Question

Determine el valor de k para que la distancia de la recta 8x+15y+k=0 al punto (3,4) se igual a 10cm

Answer 1

Verified answer

【Rpta.】El valor de k puede tomar dos valores 86 y 254.

                                 [tex]{\hspace{50 pt}\above 1.2pt}\boldsymbol{\mathsf{Procedimiento}}{\hspace{50pt}\above 1.2pt}[/tex]

Recordemos que la distancia de un punto a una recta está definido como:

                                           [tex]\boxed{\boldsymbol{\mathrm{d = \cfrac{|A(m) + B(n) + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}}}}[/tex]

Siendo la recta Ax + By + C = 0 y el punto P = (m,n)

 

Extraemos los datos del enunciado

                                                      [tex]\mathsf{\boldsymbol{\circledcirc \kern-8.7pt +} \:\:\:d= 10}[/tex]

                                                [tex]\mathsf{\boldsymbol{\circledcirc \kern-8.7pt +} \:\:\:A = \big(\underbrace{3}_{m},\underbrace{4}_{n}\big)}[/tex]

                                        [tex]\mathsf{\boldsymbol{\circledcirc \kern-8.7pt +} \:\:\:\underbrace{8}_{A}x + \underbrace{15}_{B}y + \underbrace{k}_{C} = 0}[/tex]

 

Reemplazamos estos datos en la fórmula

                                       [tex]\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:d = \cfrac{|A(m) + B(n) + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}}\\\\\\\mathsf{10 = \cfrac{|(8)(3) + (15)(4) + (k)|}{\sqrt{(8)^2 + (15)^2}}}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:10 = \cfrac{|24 + 60 + k|}{\sqrt{64 + 225}}}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:10 = \cfrac{|84+k|}{\sqrt{289}}}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:10 = \cfrac{|84+k|}{17}}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:|84+k|=170}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:84+k = \pm170}[/tex]

                              [tex]\mathsf{k=170-84}\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\boxed{\mathsf{k=86}}}[/tex]                     [tex]\mathsf{k=-170-84}\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\boxed{\mathsf{k=-254}}}[/tex]

En las imágenes puedes ver las gráficas comprobando los dos valores de k.

 

                                         [tex]\mathsf{\mathsf{\above 3pt \phantom{aa}\overset{\displaystyle \fbox{I\kern-3pt R}}{}\hspace{4 pt}\displaystyle \fbox{C\kern-6.5pt O}\hspace{4 pt}\overset{\displaystyle\fbox{C\kern-6.5pt G}}{} \hspace{4 pt} \displaystyle \fbox{I\kern-3pt H} \hspace{4pt}\overset{\displaystyle\fbox{I\kern-3pt E}}{} \hspace{4pt}\displaystyle \fbox{I\kern-3pt R} \phantom{aa}} \above 3pt}[/tex]

Answer 2

Respuesta:

si sale 5

Explicación paso a paso: