【Rpta.】El valor de k puede tomar dos valores 86 y 254.
[tex]{\hspace{50 pt}\above 1.2pt}\boldsymbol{\mathsf{Procedimiento}}{\hspace{50pt}\above 1.2pt}[/tex]
Recordemos que la distancia de un punto a una recta está definido como:
[tex]\boxed{\boldsymbol{\mathrm{d = \cfrac{|A(m) + B(n) + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}}}}[/tex]
Siendo la recta Ax + By + C = 0 y el punto P = (m,n)
Extraemos los datos del enunciado
[tex]\mathsf{\boldsymbol{\circledcirc \kern-8.7pt +} \:\:\:d= 10}[/tex]
[tex]\mathsf{\boldsymbol{\circledcirc \kern-8.7pt +} \:\:\:A = \big(\underbrace{3}_{m},\underbrace{4}_{n}\big)}[/tex]
[tex]\mathsf{\boldsymbol{\circledcirc \kern-8.7pt +} \:\:\:\underbrace{8}_{A}x + \underbrace{15}_{B}y + \underbrace{k}_{C} = 0}[/tex]
Reemplazamos estos datos en la fórmula
[tex]\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:d = \cfrac{|A(m) + B(n) + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}}\\\\\\\mathsf{10 = \cfrac{|(8)(3) + (15)(4) + (k)|}{\sqrt{(8)^2 + (15)^2}}}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:10 = \cfrac{|24 + 60 + k|}{\sqrt{64 + 225}}}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:10 = \cfrac{|84+k|}{\sqrt{289}}}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:10 = \cfrac{|84+k|}{17}}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:|84+k|=170}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:84+k = \pm170}[/tex]
[tex]\mathsf{k=170-84}\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\boxed{\mathsf{k=86}}}[/tex] [tex]\mathsf{k=-170-84}\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\boxed{\mathsf{k=-254}}}[/tex]
En las imágenes puedes ver las gráficas comprobando los dos valores de k.
[tex]\mathsf{\mathsf{\above 3pt \phantom{aa}\overset{\displaystyle \fbox{I\kern-3pt R}}{}\hspace{4 pt}\displaystyle \fbox{C\kern-6.5pt O}\hspace{4 pt}\overset{\displaystyle\fbox{C\kern-6.5pt G}}{} \hspace{4 pt} \displaystyle \fbox{I\kern-3pt H} \hspace{4pt}\overset{\displaystyle\fbox{I\kern-3pt E}}{} \hspace{4pt}\displaystyle \fbox{I\kern-3pt R} \phantom{aa}} \above 3pt}[/tex]
Respuesta:
si sale 5
Explicación paso a paso:
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【Rpta.】El valor de k puede tomar dos valores 86 y 254.
[tex]{\hspace{50 pt}\above 1.2pt}\boldsymbol{\mathsf{Procedimiento}}{\hspace{50pt}\above 1.2pt}[/tex]
Recordemos que la distancia de un punto a una recta está definido como:
[tex]\boxed{\boldsymbol{\mathrm{d = \cfrac{|A(m) + B(n) + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}}}}[/tex]
Siendo la recta Ax + By + C = 0 y el punto P = (m,n)
Extraemos los datos del enunciado
[tex]\mathsf{\boldsymbol{\circledcirc \kern-8.7pt +} \:\:\:d= 10}[/tex]
[tex]\mathsf{\boldsymbol{\circledcirc \kern-8.7pt +} \:\:\:A = \big(\underbrace{3}_{m},\underbrace{4}_{n}\big)}[/tex]
[tex]\mathsf{\boldsymbol{\circledcirc \kern-8.7pt +} \:\:\:\underbrace{8}_{A}x + \underbrace{15}_{B}y + \underbrace{k}_{C} = 0}[/tex]
Reemplazamos estos datos en la fórmula
[tex]\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:d = \cfrac{|A(m) + B(n) + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}}\\\\\\\mathsf{10 = \cfrac{|(8)(3) + (15)(4) + (k)|}{\sqrt{(8)^2 + (15)^2}}}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:10 = \cfrac{|24 + 60 + k|}{\sqrt{64 + 225}}}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:10 = \cfrac{|84+k|}{\sqrt{289}}}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:10 = \cfrac{|84+k|}{17}}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:|84+k|=170}\\\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:84+k = \pm170}[/tex]
[tex]\mathsf{k=170-84}\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\boxed{\mathsf{k=86}}}[/tex] [tex]\mathsf{k=-170-84}\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\boxed{\mathsf{k=-254}}}[/tex]
En las imágenes puedes ver las gráficas comprobando los dos valores de k.
[tex]\mathsf{\mathsf{\above 3pt \phantom{aa}\overset{\displaystyle \fbox{I\kern-3pt R}}{}\hspace{4 pt}\displaystyle \fbox{C\kern-6.5pt O}\hspace{4 pt}\overset{\displaystyle\fbox{C\kern-6.5pt G}}{} \hspace{4 pt} \displaystyle \fbox{I\kern-3pt H} \hspace{4pt}\overset{\displaystyle\fbox{I\kern-3pt E}}{} \hspace{4pt}\displaystyle \fbox{I\kern-3pt R} \phantom{aa}} \above 3pt}[/tex]
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