Question

Determinar la ecuación general de la circunferencia que tiene como centro el punto C (6,-3) si su diámetro es de 8 u.​

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La ecuación general de la circunferencia solicitada está dada por:

[tex]\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-12 x+6y+29 = 0 }}[/tex]

Solución

Ecuación ordinaria de la circunferencia

La ecuación ordinaria de la circunferencia está dada por:

[tex]\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}[/tex]

Donde (h, k) son las las traslaciones horizontal h y vertical k que representan el centro del círculo. Y donde la distancia entre el centro y cada punto del círculo es igual a la longitud del radio.

La variable r representa el radio del círculo, h representa la distancia X desde el origen y k representa la distancia Y desde el origen

Donde conocemos las coordenadas del centro del círculo y el valor del diámetro el cual es de 8 unidades, sabiendo que el radio equivale a la mitad del diámetro, luego el radio de la circunferencia es de 4 unidades

Por tanto

Siendo el centro el punto:

[tex]\boxed{ \bold { C \ (6,-3) \ \ (h, k)} }[/tex]

Y el radio:

[tex]\boxed{ \bold { radio = 4\ u } }[/tex]

Luego determinamos la ecuación canónica de la circunferencia

Reemplazamos en la ecuación:

[tex]\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}[/tex]

Los valores conocidos de (h, k) = C (6,-3) y radio = 4 unidades

[tex]\boxed{ \bold { (x-6)^2+(y+3)^2=\ (4) ^{2} }}[/tex]

[tex]\large\boxed{ \bold { (x-6)^2+(y+3)^2= 16 }}[/tex]

Habiendo hallado la ecuación ordinaria de la circunferencia solicitada

La ecuación general de la circunferencia se obtiene de la siguiente forma:

Se parte de la ecuación ordinaria de la circunferencia

[tex]\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}[/tex]

Donde para obtener la ecuación general se deben desarrollar los binomios al cuadrado

Resultando en:

[tex]\large\boxed{\bold {x^2-2ax+ a^{2}+y^2 -2by+b^{2} = r^{2} }}[/tex]

Reagrupamos los términos del siguiente modo:

[tex]\large\boxed{\bold {x^2+y^2-2ax-2by+ a^{2} +b^{2} - r^{2} = 0 }}[/tex]

Considerando:

[tex]\bold {A = -2a }[/tex]         [tex]\bold {B = -2b }[/tex]        [tex]\bold {C = a^{2}+b^{2} -r^{2} }[/tex]      

Por lo tanto podemos reescribir la ecuación general de la circunferencia como:

[tex]\large\boxed{\bold {x^2+y^2+Ax+By+C=0}}[/tex]

Convertimos

[tex]\large\boxed{ \bold { (x-6)^2+(y+3)^2= 16 }}[/tex]

A la ecuación general de la circunferencia

[tex]\boxed{ \bold { x^{2} -12 x +36+ y^{2} +6y + 9 = 16 }}[/tex]

[tex]\boxed{ \bold { x^{2} -12 x +36+ y^{2} +6y + 9 -16 = 0 }}[/tex]

[tex]\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-12 x+6y +36 + 9 -16 = 0 }}[/tex]

[tex]\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-12 x+6y +45 -16 = 0 }}[/tex]

[tex]\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-12 x+6y+29 = 0 }}[/tex]

Habiendo determinado la ecuación general de la circunferencia solicitada

Se adjunta gráfico de la circunferencia solicitada