Desde un punto en el suelo, una persona observa la parte más alta de una iglesia con un ángulo de elevación de 53°. si se encuentra a 18 m de su base. ¿cuál es la altura de la iglesia?
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La altura de la iglesia es de 24 metros
Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
Donde el triángulo dado de 37-53 resulta ser lo que se denomina un triángulo notable
La altura de la iglesia junto con el suelo donde esta se asienta forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura de la iglesia, el lado AC (b) que representa la distancia horizontal desde determinado punto en el suelo -ubicado en A, donde se encuentra el observador- hasta la base de la iglesia y el lado AC (c) que es la línea visual -desde los ojos del observador- hasta la parte más alta de la iglesia, la cual es vista con un ángulo de elevación de 53°
Donde se pide hallar:
La altura de la iglesia
Esto se puede observar en al gráfico adjunto
Conocemos la distancia desde cierto punto en el suelo hasta la base de la iglesia y de un ángulo de elevación de 53°
Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente
Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado -que es la distancia desde cierto punto en el suelo - donde se ubica el observador - hasta la base de la iglesia y conocemos un ángulo de elevación de 53° y debemos hallar la altura de la iglesia, la cual es el cateto opuesto al ángulo dado del triángulo rectángulo determinamos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α
Razones trigonométricas con ángulos notables
Hallamos la altura de la iglesia
Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α [tex]\bold{\alpha = 53^o}[/tex]
Planteamos
[tex]\boxed{\bold { tan(53^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { tan(53^o) = \frac{ altura \ de\ la \ iglesia }{ distancia \ a \ la \ iglesia } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold {altura \ de\ la \ iglesia= distancia \ a \ la \ iglesia \ . \ tan(53^o) } }[/tex]
Como tenemos un ángulo notable
[tex]\large \textsf{El valor exacto de tan de 53 grados es } \bold {\frac{ 4 } {3 } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold {altura \ de\ la \ iglesia= 18 \ m \ . \ \frac{4}{3} } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold {altura \ de\ la \ iglesia= \frac{72}{3} \ m } }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold { altura \ de\ la \ iglesia= 24 \ metros } }[/tex]
Luego la altura de la iglesia es de 24 metros
Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del problema propuesto