desde lo alto de un Peñasco red una roca horizontalmente que está a 50 m de altura a una velocidad de 72 km por hora calcular el tiempo que tardará la roca en llegar al piso y la distancia que recorre La roca desde que lleva la trayectoria horizontal y la velocidad con que la roca llega al piso
a) El tiempo de vuelo de la roca es de 3.16 segundos
b) La trayectoria horizontal recorrida por la roca es de 63.2 metros
c) La roca llega al suelo con una velocidad de 37.4 metros por segundo (m/s)
Se trata de un problema de tiro horizontal
El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.
Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad
Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical
Al inicio del movimiento el proyectil solo posee una velocidad horizontal [tex]\bold { V_{x} }[/tex] debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que [tex]\bold { V_{y} = 0 }[/tex], luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende
SOLUCIÓN
Convertimos los kilómetros por hora a metros por segundo
Sabemos que en un kilómetro hay 1000 metros
Sabemos que en 1 hora hay 3600 segundos
Planteamos
[tex]\boxed {\bold {V_{0x} = 72 \ \frac{ \not km}{\not h} \ . \left(\frac{ 1000 \ m }{1\not km} \right) \ . \ \left(\frac{1\not h }{ 3600 \ s} \right) = \frac{72000}{3600} \ \frac{m}{s} = 20 \ \frac{m}{s} }}[/tex]
a) Calculamos el tiempo de vuelo de la roca
[tex]\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g=10 \ \frac{m}{s^{2} } }[/tex]
Consideramos la altura H desde donde rodó el proyectil [tex]\bold {H= 50 \ m }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}[/tex]
[tex]\bold{y= 0}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { 0 =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Donde despejamos el tiempo }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 2 \ H =g \ .\ t^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t^{2} = \frac{2 \ H}{g } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2 \ H }{g } }}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2\ . \ 50 \ m }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{ 100 \not m }{10 \ \frac{\not m}{s^{2} } } }}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{10 \ s^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = 3.16227 \ segundoa } }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { t = 3.16 \ segundos } }[/tex]
El tiempo de vuelo de la roca es de 3.16 segundos
b) Determinamos el alcance máximo de la roca es decir la trayectoria horizontal recorrida
Dado que en el eje X se tiene un MRU para hallar el alcance o la distancia horizontal recorrida por el proyectil, basta multiplicar la velocidad horizontal inicial por el tiempo de vuelo
[tex]\large\boxed {\bold { d =V_{0x} \ . \ t }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { d =V_{x} \ . \ t }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { d =20 \ \frac{m}{\not s} \ . \ 3.16\ \not s }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { d = 63.2 \ metros}}[/tex]
La trayectoria horizontal recorrida por la roca es de 63.2 metros
c) Hallamos la velocidad con la cual la roca llega al piso
1) Establecemos el vector velocidad para el tiempo de vuelo de 3.16 segundos
Para el eje x - Eje horizontal
Dado que en el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Tomamos el valor de la velocidad inicial horizontal
[tex]\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { {V_x} =20 \ \frac{m}{s} }}[/tex]
Para el eje y - Eje vertical
Dado que en el eje Y se tiene un MRUV, la velocidad depende de la gravedad y el tiempo
En este movimiento no hay velocidad inicial en el eje Y o vertical [tex]\bold { V_{y} = 0 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { V_{y} =g\ . \ t }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { V_{y} =-10 \ \frac{m}{s^{\not 2} } \ . \ 3.16 \not s }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { V_{y} =-31.6\ \frac{m}{s} }}[/tex]
La velocidad final (para el instante de tiempo en que el cuerpo llega al suelo) se obtiene hallando la velocidad resultante de las componentes horizontal y vertical empleando el teorema de Pitágoras
[tex]\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }| = \sqrt{(V_{x} )^{2} +(V_{y} )^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{\left(20 \ \frac{m}{s} \right)^{2} +\left(-31.6 \ \frac{m}{s}\right )^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{400\ \frac{m^{2} }{s^{2} } +998.56 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{1398.56\ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 37.39732 \ \frac{m}{s} }}[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 37.4 \ \frac{m}{s} }}[/tex]
La roca llega al suelo con una velocidad de 37.4 metros por segundo (m/s)
Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento