Desde lo alto de un edificio de 24 m de altura, una persona observa un automóvil con un ángulo de depresión de 40°. Determine la distancia aproximada que se encuentra el automóvil de la base del edificio.
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El automóvil se encuentra aproximadamente a 28.60 metros de distancia de la base del edificio
Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
Solución
Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del edificio donde se encuentra la persona observando el automóvil, el lado AC (b) que representa la distancia desde el automóvil hasta la base del edificio y el lado AC (c) que es la longitud visual desde lo alto del edificio donde se encuentra la persona observando al automóvil con un ángulo de depresión de 40°
Donde se pide determinar:
A que distancia se encuentra el automóvil de la base del edificio
Por ser ángulos alternos internos- que son homólogos- se traslada el ángulo de 40° al punto A para facilitar la situación
Por ello se han trazado dos proyecciones horizontales [tex]\bold{ P_{1} }[/tex] y [tex]\bold{ P_{2} }[/tex]
Esto se puede observar en al gráfico adjunto
Conocemos la altura del edificio y de un ángulo de depresión de 40°
Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente
Como conocemos el valor del cateto opuesto (lado BC = altura del edificio), asimismo conocemos un ángulo de depresión de 40° y debemos hallar a que distancia se encuentra el automóvil de la base del edificio, relacionamos los datos que conocemos con la tangente del ángulo α
Planteamos
[tex]\boxed { \bold { tan(40^o) = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { tan(40^o) = \frac{altura \ del \ edificio }{ distancia \ auto \ a \ base \ edificio } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { distancia \ auto \ a \ base \ edificio = \frac{ altura \ del \ edificio }{ tan(40^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { distancia \ auto \ a \ base \ edificio = \frac{24 \ metros }{ tan(40^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { distancia \ auto \ a \ base \ edificio = \frac{ 24 \ metros }{ 0.8390996311} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { distancia \ auto \ a \ base \ edificio \approx 28.602086\ metros}}[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { distancia \ auto \ a \ base \ edificio \approx 28.60 \ metros}}[/tex]
El automóvil se encuentra aproximadamente a 28.60 metros de distancia de la base del edificio