Question

desde lo alto de un edificio de 18 m de altura se observa un objeto en el suelo con un ángulo de depresión de 31 A qué distancia se encuentra el objeto ​

Answer 1

La distancia desde el edificio hasta donde se encuentra el objeto es de 24 metros

Siendo correcta la última de las opciones presentadas

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde el triángulo dado de 37-53 resulta ser lo que se denomina un triángulo notable

La altura del edificio junto con el suelo -donde este se asienta- forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del edificio -donde se encuentra el observador en lo alto del edificio avistando -a cierta distancia- a un objeto en el suelo , el lado AC (b) que representa la distancia horizontal desde la base del edificio hasta el punto donde se encuentra el objeto -ubicado en A- y el lado AB (c) que es la línea visual desde los ojos del observador -ubicado en lo alto del edificio- hasta el punto donde se encuentra el objeto, el cual es visto con un ángulo de depresión de 37°

Donde se pide hallar:

A qué distancia del edificio se encuentra el objeto

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 37° al punto A para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en el gráfico adjunto

Conocemos la altura del edificio donde se encuentra el observador y de un ángulo de depresión de 37°

• Altura del edificio = 18 metros

• Ángulo de depresión = 37°

• Debemos hallar a qué distancia del edificio se encuentra el objeto en el suelo

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Como sabemos el valor del cateto opuesto al ángulo dado -que es la altura del edificio- donde se sitúa el observador-, y conocemos un ángulo de depresión de 37° y debemos hallar a qué distancia de la base del edificio se encuentra el objeto en el suelo, -la cual es el cateto adyacente al ángulo dado del triángulo rectángulo determinaremos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Razones trigonométricas con ángulos notables

Hallamos la distancia desde el edificio hasta donde se encuentra el objeto

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α [tex]\bold{\alpha =37^o}[/tex]

Planteamos

[tex]\boxed{\bold { tan(37^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }[/tex]

[tex]\boxed{\bold { tan(37^o) = \frac{ altura \ del \ edificio }{ distancia \ al \ objeto } } }[/tex]

[tex]\boxed{\bold {distancia \ al \ objeto = \frac{ altura \ del \ edificio }{ tan(37^o) } } }[/tex]

Como tenemos un ángulo notable

[tex]\large \textsf{El valor exacto de tan de 37 grados es } \bold {\frac{ 3 } {4 } }[/tex]

[tex]\boxed{\bold { distancia \ al \ objeto = \frac{ 18 \ m \ }{ \frac{3}{4} } } }[/tex]

[tex]\boxed{\bold { distancia \ al \ objeto = 18 \ m \cdot \frac{4}{3} } }[/tex]

[tex]\boxed{\bold { distancia \ al \ objeto = \frac{72 }{3} \ m } }[/tex]

[tex]\large\boxed{\bold { distancia \ al \ objeto =24 \ metros } }[/tex]

Por tanto la distancia desde la base del edificio hasta donde se encuentra el objeto es de 24 metros

Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del problema propuesto

Nota: Para la resolución del ejercicio se tomaron los datos proporcionados en el archivo adjunto donde se encuentra el enunciado completo para este problema acompañado de su esquema correspondiente