Question

Describe con detalle la demostracion de que la raiz de 2 es un numero irracional. Puedes suponer que es racional. ​

Answer 1

Respuesta:

se sabe que raíz de 2 es un número irracional, es decir, que no puede escribirse en forma de fracción.

Demostración: Una de ellas es la que podíamos denominar clásica, la que suele aparecer en todos los libros sobre el tema, y que usa reducción al absurdo.

Explicación paso a paso:

La demostración comienza suponiendo que raíz de 2 no es irracional y acabará en algo contradictorio. Si no es irracional debe ser obligatoriamente racional, es decir, debe ser igual a una fracción así:

√2=P/q

Podemos suponer sin ningún problema que el máximo común divisor de p y q es 1, es decir, que no tienen factores comunes y por tanto son primos relativos. Elevamos al cuadrado y operando queda:

2= P²/q²⇒ 2q²=p²

Por tanto p^2 debe ser múltiplo de 2, lo que implica que p también es un múltiplo de 2. Es decir, p = 2k para un cierto k. Sustituímos este valor de p en la expresión anteriory simplificamos un 2 de esa igualdad:

2q²=(2k)²⇒ q²=2k²

Esa expresión nos asegura que q^2 es múltiplo de 2, y por tanto también lo es q. Y aquí está el absurdo: habíamos supuesto que p y q no tenían factores comunes (es decir, mcd(p,q) = 1) y hemos llegado a que los dos son múltiplos de 2, es decir, que tienen al 2 como factor común, y por tanto su mcd debe ser al menos 2. Esa es la contradicción que buscábamos.

Conclusión: Raíz de 2 es irracional.