Question

Dengan menggunakan prinsip induksi matematika tunjukkan bahwa pernyataan berikut ini benar untuk semua bilangan asli :
a. 3 adalah faktor dari n³+2n
b. 4 adalah faktor dari 5n+3
c. 3 adalah faktor dari n³+3n+2n​

Answer 1

Jawab:

induksi

Penjelasan dengan langkah-langkah:

a) 3 adalah faktor dari n³ + 2n maka  n³ + 2n  habis dibagi 3

misal un = n³ + 2n =  3m (m bilangan asli)

akan dibuktikan jika untuk Un+1  juga habis dibagi 3.

u(n+1) = (n+1)³ + 2(n+1)

.

(n+1)³ + 2(n+1) = n³ + 3n² + 3n + 1 + 2n + 2

(n+1)³ + 2(n+1) =  (n³ + 2n) + (3n² + 3n + 3)

(n+1)³ + 2(n+1) =  (3m ) + 3(n² + n + 1)

(n+1)³ + 2(n+1) =  3 ( m + n² + n + 1)

maka (n+1)³ + 2(n+1)  juga habis dibagi 3,

dan 3 adalah faktor dari n³ + 2n

C.  n³ + 3n²+ 2n  habis dibagi 3

un = n³ + 3n + 2n  = 3m (m bil.asli)

u(n+1) = (n +1)³ + 3(n+1)² + 2(n+1)  juga habis dibagi 3

(n +1)³ + 3(n+1)² + 2(n+1)   = (n+1) { (n+1)² + 3 (n+1) + 2 }

(n +1)³ + 3(n+1)² + 2(n+1)   = (n+1) { (n+1 +2)(n+1+ 1)}

(n +1)³ + 3(n+1)² + 2(n+1)   = (n+1( (n+3)(n+2)

bentuk  (n+1( (n+3)(n+2) adalah  pekalian berurutan ,  

merupakan bilangan habis dibagi 3

dan  3 adalah faktor dari   n³ + 3n²+ 2n