Dari hasil ujian statistic didapatkan nilai rata-ratanya 7,0 dan standar deviasinya 1,5. Jika diasumsikan distribusi normal, hitunglah: a. Berapa persenkah dari siswa mendapatkan nilai 6,5 ? b. Nilai tertinggi (maksimaum) dari 10 % siswa yang mendapat nilai terendah. Nilai terendah (minimum) dari 10 % siswa yang mendapat nilai tertinggi.
Jawaban:
(a) Untuk menghitung persentase siswa yang mendapatkan nilai 6,5, kita perlu menggunakan rumus distribusi normal sebagai berikut:
P(X < 6,5) = (6,5 - μ) / σ
dengan:
- P(X < 6,5): probabilitas siswa mendapatkan nilai kurang dari 6,5
- μ: rata-rata nilai (dalam hal ini, 7,0)
- σ: standar deviasi (dalam hal ini, 1,5)
Substitusi nilai yang diberikan ke dalam rumus tersebut akan menghasilkan:
P(X < 6,5) = (6,5 - 7,0) / 1,5 = -0,33
Kita tidak dapat menemukan nilai probabilitas langsung dari tabel distribusi normal standar karena nilai z-score (-0,33) negatif. Oleh karena itu, kita perlu menghitung nilai probabilitas menggunakan properti simetri dari distribusi normal, yaitu:
P(X < 6,5) = P(X > 7,0 - 6,5) = P(X > 0,5)
Dari tabel distribusi normal standar, kita dapat menemukan bahwa probabilitas untuk nilai z-score antara 0 dan 0,5 adalah sekitar 0,1915. Oleh karena itu, probabilitas siswa mendapatkan nilai kurang dari 6,5 adalah:
P(X < 6,5) = P(X > 0,5) = 1 - P(X < 0,5) = 1 - 0,1915 = 0,8085
Dengan demikian, sekitar 80,85% siswa mendapatkan nilai kurang dari 6,5.
(b) Untuk mencari nilai tertinggi (maksimum) dari 10% siswa yang mendapat nilai terendah, kita dapat menggunakan tabel distribusi normal standar untuk mencari z-score untuk persentil ke-10 (0,1). Dari tabel tersebut, kita dapat menemukan bahwa nilai z-score untuk persentil ke-10 adalah sekitar -1,28.
Selanjutnya, kita dapat menggunakan rumus z-score untuk mencari nilai maksimum dari 10% siswa yang mendapat nilai terendah:
z = (x - μ) / σ
dengan:
- z: z-score (dalam hal ini, -1,28)
- x: nilai yang dicari
- μ: rata-rata nilai (dalam hal ini, 7,0)
- σ: standar deviasi (dalam hal ini, 1,5)
Substitusi nilai yang diberikan ke dalam rumus tersebut akan menghasilkan:
-1,28 = (x - 7,0) / 1,5
x - 7,0 = -1,92
x = 5,08
Dengan demikian, nilai maksimum dari 10% siswa yang mendapat nilai terendah adalah sekitar 5,08.
Untuk mencari nilai terendah (minimum) dari 10% siswa yang mendapat nilai tertinggi, kita dapat menggunakan rumus yang sama, tetapi dengan nilai z-score untuk persentil ke-90 (0,9). Dari tabel distribusi normal standar, kita dapat menemukan bahwa nilai z-score untuk persentil ke-90 adalah sekitar 1,28.
Substitusi nilai yang diberikan ke dalam rumus z-score akan menghasilkan:
1,28 = (x - 7,0) / 1,5
x - 7,0 = 1,92
x = 8,92
Dengan demikian, nilai terendah (minimum) dari 10% siswa yang mendapat nilai tertinggi adalah sekitar 8,92.
Penjelasan: