Question

Dany jest wielomian W(x)=(x^4+x)^2023. Oblicz sumę wszystkich współczynników przy parzystych potęgach zmiennej x.

Answer 1

Suma wszystkich współczynników przy parzystych potęgach to:

[tex]2^{2022}[/tex]

Jak to obliczyć?

Chcemy obliczyć suma wszystkich współczynników przy parzystych potęgach.

Możemy więc zapisać, że:

[tex]W(1)=p+n[/tex]

[tex]W(-1)=p-n[/tex]

p to współczynniki parzyste

n to współczynniki nieparzyste.

Obliczmy to:

[tex]W(1)=(1^4+1)^{2023}=2^{2023}[/tex]

[tex]W(-1)=((-1)^4+(-1)^{2023}=(1-1)^{2023}=0^{2023}=0[/tex]

Więc zapiszmy:

[tex]\left \{ {{2^{2023}=p+n} \atop {0=p-n}} \right.[/tex]

[tex]2^{2023}=2p[/tex]

[tex]p=2^{2023}:2=2^{2023-1}=2^{2022}[/tex]

#SPJ1