Question

Dany jest wielomian W(r) = 2x³+mx² +2x-3. Wiadomo, że ten wielomian można zapisać
w postaci W(x) = (x + 3)Q(x), gdzie Q(x) jest pewnym trójmianem kwadratowym.
Wyznacz wielomian Q(x) oraz oblicz pierwiastki rzeczywiste wielomianu W (x).

Answer 1

Trójmian kwadratowy

Trójmianem kwadratowym nazywamy równanie o postaci ax²+bx+c=0, gdzie a≠0.

Rozwiązaniem trójmianu kwadratowego (równania kwadratowego) są miejsca zerowe, czyli miejsca przecięcia wykresu funkcji z osią OX.

Aby obliczyć te miejsca, musimy obliczyć wartość wyróżnika funkcji kwadratowej Δ:

[tex]\huge\boxed{\Delta=b^2-4ac}[/tex]

W zalezności od wartości Δ funkcja ma:

• 2 miejsca zerowe, kiedy Δ>0:
  [tex]\boxed{x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}}[/tex]
• 1 miejsce zerowe, kiedy Δ=0:
  [tex]\boxed{x_0=\dfrac{-b}{2a}}[/tex]
• nie ma miejsc zerowych, kiedy Δ<0.

Rozwiązanie:

Zapis W(x)=(x+3)Q(x) oznacza, że jeżeli podzielimy wielomian W(x) przez x+3, to otrzymany wielomian Q.

[tex]Q(x)=\dfrac{W(x)}{x+3}[/tex]

Jeżeli wielomian Q(x) jest trójmianem kwadratowym, to zapis wielomianu W(x) możemy przekształcić do takiej postaci:

[tex]W(x)=(x+3)(ax^2+bx+c)\\W(x)=ax^3+bx^2+cx+3ax^2+3bx+3c\\W(x)=ax^3+3ax^2+bx^2+3bx+cx+3c\\W(x)=ax^3+x^3(3a+b)+x(3b+c)+3c[/tex]

Z treści zadania wynika, że wielomian W jest równy 2x³+mx²+2x-3 zatem musimy go przyrównać do wyznaczonej wyżej postaci.

[tex]\begin{array}{c}\widetilde{2}x^3+\bold{m}x^2+\underline{2}x\boxed{-3}\\\widetilde{a}x^3+x^2\bold{(3a+b)}+x\underline{(3b+c)}+\boxed{3c}\end{array}\\[/tex]

Odczytujemy wszystkie jego współczynniki:

[tex]\underline{a=2}\\3a+b=m\\3b+c=2\\3c=-3 \to \underline{c=-1}[/tex]

Znając wartość "c" możemy obliczyć "b"

[tex]3b+c=2 \to 3b+(-1)=2\\3b-1=2 /+1\\3b=3 /:3\\\underline{b=1}[/tex]

A znając zarówno "a" i "b" możemy wyznaczyć "m".

[tex]m=3a+b\\m=3*2+1\\m=6+1\\\underline{m=7}[/tex]

Znając już wszystkie wartości, możemy podstawić je pod równania wielomianów W i Q.

[tex]W(x)=2x^3+7x^2+2x-3\\\boxed{Q(x)=2x^2+x-1}[/tex]

Teraz wyznaczamy pierwiastki rzeczywiste wielomianu W.

[tex]W(x)=(x+3)(2x^2+x-1)\\(x+3)(2x^2+x-1)=0\\\\\begin{array}{ccc}x+3 = 0 & \vee & 2x^2+x-1=0\end{array}[/tex]

Z pierwszego równania łatwo wyznaczyć x:

[tex]x+3=0 / -3\\\boxed{x=-3}[/tex]

W drugim równaniu do wyznaczenia pierwiastków musimy obliczyć wyróżnik funkcji kwadratowej Δ, a następnie obliczyć pierwiastki w zależności od tego parametru.

[tex]\Delta=1^2-4*2*(-1)=1+8=9\\\sqrt{\Delta}=3\\\\x_1=\dfrac{-1-3}{4}\\x_1=\dfrac{-4}4\\\boxed{x_1=-1}\\\\x_2=\dfrac{-1+3}4\\x_2=\dfrac24\\\boxed{x_2=\dfrac12}[/tex]

Mamy już kompletną odpowiedź:

1. Wielomian Q(x) ma postać: Q(x)=2x²+x-1

2. Pierwiastkami wielomianu W(x) są liczby: -3; -1; ¹/₂