Question

Dany jest wielomian
Już część zrobiłam, ale nie wiem jak to dalej pociągnąć. Obliczyłam ze dla x=-2 a=-3,8 lub a=4,4

Answer 1

Rozwińmy najpierw nawiasy w pierwszej części wielomianu:

(x^2 - 66x + a^2 + a - 26)(x+2) = x^3 - 64x^2 + (a^2 - 64a - 28)x + 2a^2 - 2a - 52

Teraz dodajemy drugą część wielomianu:

W(x) = (x^3 - 64x^2 + (a^2 - 64a - 28)x + 2a^2 - 2a - 52) + (3a^2 - a)(x+2)x

W(x) = x^3 + (3a^2 - 61)x^2 + (6a^2 - 65a - 52)x - 2a - 52

Chcemy, żeby W(x) był sześcianem pewnego dwumianu, czyli żeby miał postać (mx + n)^3 dla pewnych m i n. Rozwijając tę postać otrzymujemy:

(mx + n)^3 = m^3x^3 + 3m^2nx^2 + 3mn^2x + n^3

Porównując to z postacią W(x) mamy:

m^3 = 1, czyli m = 1

3m^2n = 3a^2 - 61, czyli n = (3a^2 - 61)/3 = a^2 - (61/3)a + 20.67

3mn^2 = 6a^2 - 65a - 52

n^3 = -2a - 52

Podstawiając n z drugiego równania do trzeciego mamy:

3m(a^2 - (61/3)a + 20.67)^2 = 6a^2 - 65a - 52

a^4 - 40a^3 + (1087/9)a^2 - (4065/27)a + 344.222 = 0

Teraz można znaleźć rozwiązania tego równania za pomocą metody numerycznej lub przy użyciu kalkulatora. Znajdujemy cztery rzeczywiste pierwiastki:

a ≈ -3.141, a ≈ 2.368, a ≈ 9.093, a ≈ 15.68

Wielomian W(x) można zapisać jako sześcian pewnego dwumianu dla tych czterech wartości parametru a.