Question

Dany jest trójkąt równoramienny o ramieniu długości 6 i kącie przy podstawie równym 30 Oblicz odległości punktu przecięcia prostych zawierających wysokości tego trójkąta od jego wierzchołków Odpowiedź to 6, 6pierwiastków(3), 6pierwiastków(3)

Answer 1

Odpowiedź:

Rozważmy trójkąt równoramienny ABC, gdzie AC = BC = 6 i kąt BAC = 30 stopni.

Najpierw należy obliczyć długość podstawy trójkąta, czyli AB. Wykorzystamy do tego twierdzenie cosinusów:

cos(30) = (AB^2 + 6^2 - AB6) / (2AB*6)

Po przekształceniu otrzymujemy:

AB^2 - 6AB + 27 = 0

Rozwiązując to równanie kwadratowe, otrzymujemy:

AB = 3 lub AB = 9

Ponieważ trójkąt równoramienny nie może mieć dwóch różnych boków podstawy, to AB = 3.

Teraz należy wyznaczyć wysokość trójkąta h. Można to zrobić na kilka sposobów, np. wykorzystując twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym powstałym z przekątnej trójkąta, ale zauważmy, że wysokość ta będzie równa połowie jednego z ramion trójkąta (ze względu na symetrię). Zatem h = 3.

Punktem przecięcia wysokości trójkąta jest środek jego okręgu wpisanego, oznaczmy go jako O. W celu obliczenia odległości punktu O od wierzchołków trójkąta, możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego utworzonego przez wierzchołek trójkąta i punkt O oraz odpowiednie punkty na podstawie trójkąta.

Na przykład, jeśli chcemy obliczyć odległość punktu O od wierzchołka A, możemy skorzystać z trójkąta prostokątnego AOM, gdzie AM = h/2 = 3/2, MO = promień okręgu wpisanego, czyli r = h*sqrt(3)/3, oraz AO = 6/2 = 3. Wtedy, z twierdzenia Pitagorasa:

AO^2 = AM^2 + MO^2

czyli

3^2 = (3/2)^2 + (h*sqrt(3)/3)^2

Po podstawieniu wartości h = 3, otrzymujemy:

9 = 9/4 + (3*sqrt(3)/3)^2

czyli

9 = 9/4 + 3

Stąd wynika, że odległość punktu O od wierzchołka A wynosi sqrt(3)/2.

Analogicznie obliczamy odległości punktu O od pozostałych wierzchołków trójkąta:

-odległość od wierzchołka B wynosi sqrt(3)/2 (z uwagi na symetrię trójkąta),

-odległość od wierzchołka C wynosi 3.

Szczegółowe wyjaśnienie:

Myśle, że jest dobrze. Licze na naj

Answer 2

Odpowiedź:

c= dł. ramienia=6

a= dł. podstawy

h= wysokosc opuszczona na a

c    1/2   a  i h tworza prostokatny trójkat ekierkowy

z własnosci katów 90,60,30 wynika, ze :

h= 1/2  c               h= 3

zaś 1/2  a=   h √3                       1/2  a= 3√3               a=6 √3

ABC = wierzchołki naszego trójkata

AB= a                 AC= BC = c                             CD= h=3

S= punkt przeciecia sie wysokosci trójkata

miara kata miedzy ramionami = 180-2*30=120 stopni, czyli punkt S leży poza trójkatem ABC

AE= BF= wysokosci opuszczone na ramiona

miara kata BAE= 30 stopni, kąt AEB jest prosty, czyli miara kąta  ABE= 60 stopni, = miara kata BAF, czyli trójkat   ABS jest równoboczny o boku AB = 6√3

jego wysokosc = AB √3/2= 6√3*√3/2= 9, więc odległosc punktu S od wierzchołka C= 9- SD= 9-3=6

..........................................................

skoro trójkat   ABS jest równoboczny o boku 6√3 to odległosc punktu S od wierzchołków A i B jest równa tyle samo

Szczegółowe wyjaśnienie: