Question

Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC| = |BC| = 8 i |AC| = 4 •|AB\. Odcinek AD, gdzie D jest punktem boku BC, zawarty jest w dwusiecznej kąta CAB.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Cosinus najmniejszego kąta trójkąta ABC jest równy?​

1.2 Oblicz obwód trójkąta ABD

Answer 1

Cosinus najmniejszego kąta trójkąta ABC wynosi:  [tex]\frac{31}{32}[/tex]

1.2  [tex]Obw._{ABD}=6[/tex]  

Twierdzenie cosinusów

• dla boku AB:   [tex]|AB|^2=|AC|^2+|BC|^2-2|AC||BC|\cos|\angle ACB|[/tex]
• dla odcinka AD:  [tex]|AD|^2=|AC|^2+|CD|^2-2|AC||CD|\cos|\angle ACD|[/tex]

Gdzie  [tex]\cos|\angle ACB|=\cos|\angle ACD|[/tex] , bo to ten sam kąt.

{rysunek i oznaczenia pomocnicze w załączniku}

|AC| = 4·|AB|

8 = 4·|AB|     /:4

|AB| = 2

W trójkącie najmniejszy kąt znajduje się na przeciw najkrótszego boku, więc tutaj jest to kąt między ramionami trójkąta.

Czyli z twierdzenia cosinusów:

[tex]|AB|^2=|AC|^2+|BC|^2-2|AC|BC|\cos|\angle ACB|\\\\2^2=8^2+8^2-2\cdot8\cdot8\cos\beta\\\\128\cos\beta=64+64-4\qquad/:128\\\\\cos\beta=\dfrac{124}{128}=\dfrac{31}{32}[/tex]

1.2

Dwusieczna kąta trójkąta dzieli bok, który przecina na odcinki, których stosunek długości jest równy stosunkowi długości pozostałych boków trójkąta.

Czyli:

        [tex]\dfrac{|BD|}{|CD|}=\dfrac{|AB|}{|AC|}[/tex]

Stąd:

        [tex]\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{8}\\\\2y=8x\\\\y=4x[/tex]

Wiemy, że  |BD| + |CD| = |BC|, czyli:

                  [tex]x+y=8\\\\x+4x=8\\\\5x=8\qquad/:5\\\\x=1,6\\\\\\y=8-1,6=6,4[/tex]

Zatem, z tw. cosinusów:

                                    [tex]z^2=8^2+1{,}6^2-2\cdot8\cdot6{,}4\cdot\cos\beta\\\\ z^2=64+40{,}96-102{,}4\cdot\frac{31}{32}\\\\z^2=104{,}96-99{,}2\\\\z^2=5{,}76\\\\z=2{,}4[/tex]

Stąd, obwód trójkąta ABD:

[tex]Obw._{ABD}=|AB|+|BD|+|AD|\\\\|AB|=2\\|BD|=x=1,6\\|AD|=z=2,4\\\\Obw._{ABD}=2+1,6+2,4=\large\text{$6$}[/tex]