Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 i 8. Oblicz długości odcinków na jakie dwusieczna kąta prostego tego trójkąta dzieli jego przyprostokątne.
" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "
© Copyright 2013 - 2024 KUDO.TIPS - All rights reserved.
Odpowiedź:
[tex]5\frac{5}{7}[/tex] i [tex]4\frac{2}{7}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Policzmy długość przeciwprostokątnej z tw. Pitagorasa.
[tex]c^2=8^2+6^2\\c^2=64+36\\c^2=100\\c=\sqrt{100}\\c=10[/tex]
Oznaczmy długość jednego z odcinków, na jakie dwusieczna dzieli przeciwprostokątną, np. AD, jako [tex]x[/tex]. Wtedy drugi odcinek podziału, tj. DC, będzie miał długość [tex]10-x[/tex].
Po dorysowaniu wysokości DE trójkąta ABD powstał trójkąt DEB. Trójkąt ten jest prostokątny (bo taki kąt tworzy wysokość z podstawą) i jednym z jego kątów jest kąt [tex]45^\circ[/tex]. Wtedy trzeci kąt też ma miarę [tex]45^\circ[/tex]. Stąd wniosek, że ten trójkąt jest równoramienny. Oznaczmy długości jego przyprostokątnych jako [tex]y[/tex]. Teraz można oznaczyć długość odcinka AE jako [tex]8-y[/tex].
Zauważmy, że trójkąty ABC i AED są podobne z cechy kkk (bo oba są prostokątne i mają kąt wspólny przy wierzchołku A). Wówczas zachodzi
[tex]\frac{6}{y}=\frac{8}{8-y}\\8y=6(8-y)\\8y=48-6y\\8y+6y=48\\14y=48\ |:48\\y=\frac{48}{14}\\y=\frac{24}{7}[/tex]
Ponownie korzystamy z podobieństwa trójkątów ABC i AED, więc mamy
[tex]\frac{6}{y}=\frac{10}{x}\\6x=10y\\6x=10*\frac{24}{7}\\6x=\frac{240}{7} \ |:6\\x=\frac{40}{7}\\x=5\frac{5}{7}\\10-x=10-5\frac{5}{7}=9\frac{7}{7}-5\frac{5}{7}=4\frac{2}{7}[/tex]