Question

Dany jest trójkąt prostokątny o kącie ostrym 60 st. Oblicz stosunek promienia okręgów opisanego na tym trójkącie do promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Proszę także o rysunek pomocniczy.

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]\frac{R}{r} =\sqrt{3} +1[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

trójkąt prostokątny o kącie ostrym 60° ma następujące długości boków:

2a - przeciwprostokątna

a oraz [tex]a\sqrt{3}[/tex] przyprostokątne

promień okręgu opisanego na tym trójkącie to połowa przeciwprostokątnej, czyli R=a

promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny wyraża się wzorem

[tex]r=\frac{a+b-c}{2}[/tex]

promień okręgu wpisanego

[tex]r=\frac{a+a\sqrt{3} -2a}{2} =a\frac{\sqrt{3}-1 }{2}[/tex]

stosunek promieni:

[tex]\frac{R}{r} =\frac{a}{a\frac{\sqrt{3}-1}{2} } =\frac{2}{\sqrt{3} -1} =\frac{2*(\sqrt{3} +1)}{(\sqrt{3} -1)(\sqrt{3} +1)}=\frac{2*(\sqrt{3} +1)}{2} =\sqrt{3} +1[/tex]