Question

Dany jest trójkąt prostokątny ABC którego przyprostokątne A B I A C mają odpowiednią długości 3 pierwiastek z 2 i 4 pierwiastek z 3

ZDJ W ZAŁĄCZNIKU PILNE!!!

Answer 1

13.1.

Środkowa to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Oznaczmy punkt wspólny środkowej poprowadzonej z wierzchołka B i boku AC jako D. Skoro D jest środkiem boku AC, to:

[tex]|AD|=\frac{|AC|}{2}=\frac{4\sqrt3}{2}=2\sqrt3[/tex]

Z tw. Pitagorasa dla trójkąta BAD mamy:

[tex]|AB|^2+|AD|^2=|BD|^2\\(3\sqrt2)^2+(2\sqrt3)^2=|BD|^2\\9*2+4*3=|BD|^2\\18+12=|BD|^2\\30=|BD|^2\\|BD|=\sqrt{30}[/tex]

Odp: Środkowa poprowadzona z wierzchołka B ma długość [tex]|BD|=\sqrt{30}[/tex].

13.2.

Ortocentrum to punkt przecięcia się wszystkich wysokości trójkąta. W trójkącie prostokątnym ortocentrum znajduje się w wierzchołku kąta prostego, czyli jest nim punkt A. Spodek wysokości wychodzącej z wierzchołka A oznaczmy przez E.

Policzmy długość przeciwprostokątnej BC.

[tex]|BC|^2=|AB|^2+|AC|^2\\|BC|^2=(3\sqrt2)^2+(4\sqrt3)^2\\|BC|^2=9*2+16*3\\|BC|^2=18+48\\|BC|^2=66\\|BC|=\sqrt{66}[/tex]

Trójkąty EBA i ABC są podobne z cechy kkk (bo oba są prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku B). Zatem zachodzi proporcja:

[tex]\frac{|AE|}{|AC|}=\frac{|AB|}{|BC|}\\\frac{|AE|}{4\sqrt3}=\frac{3\sqrt2}{\sqrt{66}}\\\frac{|AE|}{4\sqrt3}=\frac{3}{\sqrt{33}}\ |*4\sqrt3\\|AE|=\frac{12\sqrt3}{\sqrt{33}}\\|AE|=\frac{12}{\sqrt{11}}*\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}\\|AE|=\frac{12\sqrt{11}}{11}[/tex]

Odp: Odległość ortocentrum od przeciwprostokątnej wynosi  [tex]|AE|=\frac{12\sqrt{11}}{11}[/tex].