Question

Dany jest trójkąt ABC o polu 25cm2, w którym |AB|=6cm, a |AC|=9cm. Dwusieczna kąta BAC przecina bok BC w punkcie D. Oblicz pola trójkątów ABD I ACD

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]P_{ABD}=10\ cm^2\\\\P_{ACD}=15\ cm^2[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Z tw. o dwusiecznej mamy proporcję:

[tex]\frac{|BD|}{|CD|}=\frac{6}{9}\\\\\frac{|BD|}{|CD|}=\frac{2}{3}\ |*|CD|\\\\|BD|=\frac{2}{3}|CD|[/tex]

Zauważmy, że trójkąty ABD i ACD mają wspólną wysokość h padającą na podstawy (lub ich przedłużenia) BD i CD.

Zatem

[tex]P_{ABD}=\frac{1}{2}|BD|h\\\\P_{ACD}=\frac{1}{2}|CD|h[/tex]

Pole trójkąta ABC jest sumą pól trójkątów ABD i ACD, więc

[tex]P_{ABD}+P_{ACD}=25\\\\\frac{1}{2}|BD|h+\frac{1}{2}|CD|h=25\ |*2\\\\|BD|h+}|CD|h=50\\\\\frac{2}{3}|CD|h+|CD|h=50\\\\\frac{5}{3}|CD|h=50\ |:\frac{5}{3}\\\\|CD|h=50*\frac{3}{5}\\\\|CD|h=30\\\\|BD|h=\frac{2}{3}|CD|h=\frac{2}{3}*30=20[/tex]

Zatem szukane pola wynoszą:

[tex]P_{ABD}=\frac{1}{2}|BD|h=\frac{1}{2}*20=10\ [cm^2]\\\\P_{ACD}=\frac{1}{2}|CD|h=\frac{1}{2}*30=15\ [cm^2][/tex]