Question

Dany jest prostokąt o wymiarach 4 cm x 7 cm. Krótszy bok tego prostokąta
zwiększamy o x cm, dłuższy zmniejszamy o x cm. Dla jakiej długości x pole
otrzymanego prostokąta będzie największe? Podaj odpowiednie założenia.
Oblicz to pole.
​

Answer 1

Odpowiedź:

Dla jakiej długości x pole otrzymanego prostokąta będzie największe?

Pole jest największe dla x=1,5cm

Pole jest równe 30¹/₄ cm²

Szczegółowe wyjaśnienie:

4 - początkowa długość I boku

7 - początkowa długość II boku

4+x - długość I boku po zwiększeniu

7-x - długość II boku po zmniejszeniu

[tex]x\in(0,7)[/tex]

Wyznaczam pole prostokąta

[tex]P(x)=(4+x)(7-x)[/tex]

[tex]P(x)=28-4x+7x-x^2[/tex]

[tex]P(x)=-x^2+3x+28[/tex]

Obliczam dla jakiej długości x pole otrzymanego prostokąta będzie największe

Wykresem jest parabola z ramionami skierowanymi do dołu, więc największą wartość będzie przyjmowała w wierzchołku paraboli

[tex]x=x_w=-\frac{b}{2a}[/tex]

[tex]x=-\frac{3}{2\cdot(-1)}[/tex]

[tex]x=-\frac{3}{-2}[/tex]

[tex]x=\frac{3}{2}[/tex]

Obliczam maksymalną wartość pola

[tex]P(\frac{3}{2})=-(\frac{3}{2})^2+3\cdot\frac{3}{2}+28=-\frac{9}{4}+\frac{9}{2}+28=-\frac{9}{4}+\frac{18}{4}+28=28\frac{9}{4}=30\frac{1}{4}[/tex]