Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego krawędź podstawy ma długość a. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
[tex]\huge\boxed{cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}3}}[/tex]
Ostrosłup prawidłowy trójkątny
Ostrosłupem prawidłowym trójkątnym jest ostrosłup, w którego podstawie znajduje się trójkąt równoboczny.
Wówczas pole podstawy tego ostrosłupa ma postać:
[tex]\huge\boxed{P_p=\dfrac{a^2\sqrt3}4}[/tex]
gdzie a to krawędź podstawy.
Wysokość opuszczona na podstawę tego ostrosłupa dzieli wysokości podstawy na odcinki w stosunku 2:1 począwszy od wierzchołka podstawy do jej krawędzi.
[tex]\huge\boxed{h_p=\dfrac{a\sqrt3}2;\;\;\dfrac23h_p=\dfrac{a\sqrt3}3;\;\;\dfrac13h_p=\dfrac{a\sqrt3}6}[/tex]
gdzie [tex]h_p[/tex] - wysokość trójkąta równobocznego w podstawie.
Dłuższa część wysokości podstawy wraz z wysokością ostrosłupa i krawędzią boczną ostrosłupa tworzą trójkąt prostokątny, stąd:
[tex]\huge\boxed{\left(\dfrac23h_p\right)^2+H^2=b^2}[/tex]
gdzie [tex]H[/tex] - wysokość ostrosłupa, [tex]b[/tex] - krawędź boczna
Pole powierzchni bocznej ostrosłupa składa się z trzech jednakowych trójkątów równoramiennych.
[tex]\huge\boxed{P_b=3\cdot\dfrac{ah_b}2}[/tex]
gdzie [tex]a[/tex] - krawędź podstawy, [tex]h_b[/tex] - wysokość ściany bocznej
Rozwiązanie:
Wiemy, że pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest trzy razy większe od pola podstawy.
[tex]\begin{array}{lll}P_b=3P_p\\\\\dfrac{3ah_b}2=\dfrac{3a^2\sqrt3}4&|&\cdot 2\\\\3ah_b=\dfrac{3a^2\sqrt3}2&|&:3a\\\\\underline{\bold{h_b=\dfrac{a\sqrt3}2\Rightarrow h_b=h_p}}\end{array}[/tex]
Stąd wiemy, że wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa wysokości trójkąta równobocznego w podstawie.
Wiedząc, że ściana boczna jest trójkątem równoramiennym, wyznaczymy wzór opisujący krawędź boczną. Wysokość trójkąta równoramiennego dzieli podstawę na dwie równe części. Wówczas ramię tego trójkąta staje się przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych równych wysokości trójkąta i połowie jego podstawy, stąd:
[tex]\begin{array}{lll}b^2=\left(\dfrac12a\right)^2+h_b^2\\\\b^2=\dfrac14a^2+h_b^2\\\\b^2=\dfrac14a^2+\left(\dfrac{a\sqrt3}2\right)^2\\\\b^2=\dfrac14a^2+\dfrac{3a^2}4\\\\b^2=\dfrac14a^2+\dfrac34a^2\\\\b^2=a^2&|&\sqrt{}\\\\\underline{\bold{b=a}}\end{array}[/tex]
Stąd wiemy, że krawędź boczna ostrosłupa ma taką samą długość jak krawędź podstawy. Zatem ściany boczne i podstawa są takimi samymi trójkątami równobocznymi. Mamy do czynienia z czworościanem foremnym.
Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa jest równy ilorazowi długości ²/₃ wysokości podstawy do krawędzi bocznej, zatem:
[tex]cos\alpha=\dfrac{\frac23h_p}{b}\\\\cos\alpha=\dfrac{\frac{a\sqrt3}{3}}{a}\\\\cos\alpha=\dfrac{a\sqrt3}3:a\\\\cos\alpha=\dfrac{a\sqrt3}3\cdot \dfrac1{a}\\\\\boxed{\bold{cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}3}}[/tex]