Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) określony dla każdej liczby naturalnej n => 1. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (an) jest równa 13, a suma dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych jest trzy razy większa od sumy dwudziestu początkowych wyrazów o numerach parzystych. Oblicz, ile wyrazów ciągu (an) jest większych od 0,01.
More Questions From This User See All
Aby rozwiązać to zadanie, najpierw musimy znaleźć wyraz ogólny ciągu geometrycznego (an) i poznać jego iloraz (q). Następnie obliczymy sumę trzech pierwszych wyrazów ciągu oraz sumy dwudziestu pierwszych wyrazów o numerach parzystych i nieparzystych. Na końcu, znajdziemy ilość wyrazów większych niż 0,01.
Wyraz ogólny ciągu (an):
Niech "a" będzie pierwszym wyrazem ciągu, a "q" będzie ilorazem ciągu geometrycznego. Wtedy ogólny wyraz ciągu (an) można zapisać jako:
an = a * q^(n-1)
Suma trzech początkowych wyrazów ciągu:
a1 + a2 + a3 = 13
a + aq + aq^2 = 13
Suma dwudziestu początkowych wyrazów o numerach parzystych i nieparzystych:
Suma dwudziestu pierwszych wyrazów o numerach parzystych:
a2 + a4 + a6 + ... + a40 = 3 * (Suma dwudziestu pierwszych wyrazów o numerach nieparzystych)
Możemy to zapisać jako:
aq + aq^3 + aq^5 + ... + aq^39 = 3 * (a + aq^2 + aq^4 + ... + aq^38)
Obliczmy ilość wyrazów większych niż 0,01:
Chcemy znaleźć, ile wyrazów ciągu jest większych niż 0,01, czyli ile n jest takie, że an > 0,01. Rozwiązując to, otrzymujemy:
a * q^(n-1) > 0,01
Teraz rozważmy obie równości i wybierzmy rozwiązania, które spełniają wszystkie warunki:
a. a * q^(n-1) = 0,01
b. a * q^(n-1) = 0
Pierwsza równość (a) określa, kiedy n-ty wyraz jest równy 0,01, a druga równość (b) określa, kiedy n-ty wyraz jest równy 0.
Teraz, rozwiązując równość (a), znajdźmy wartość "n" dla której an = 0,01. Rozwiążmy to równanie:
a * q^(n-1) = 0,01
Następnie rozwiązując równość (b), znajdźmy wartość "n" dla której an = 0. Rozwiążmy to równanie:
a * q^(n-1) = 0
Po znalezieniu "n" dla tych dwóch przypadków, możemy znaleźć zakres "n" dla którego an jest większy niż 0,01. Następnie porównamy ten zakres z ilością wyrazów większych niż 0,01 w ciągu.