Question

Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 3. Zakreślono dwa koła o promieniu 3 i środkach w punktach A i C. Wyznacz pole figury będącej częścią wspólną tych kół.

Answer 1

[tex]P_f=4,5\pi -9[/tex]

Figura będąca częścią wspólną  kół.

Definicja 1: Odcinek koła

Odcinkiem koła (odcinkiem kołowym) nazywamy część koła odciętą przez cięciwę wraz z tą cięciwą.

Definicja 2: Wycinek koła

Wycinkiem koła (wycinkiem kołowym) nazywamy część tego koła ograniczoną łukiem i ramionami kąta środkowego.

Zauważ, że figura będąca częścią wspólną tych kół składa się z dwóch takich samych odcinków koła ograniczonych cięciwą BD.

Rysunek w załączniku.

Krok 1

Obliczmy najpierw pole trójkąta ABD. Jego pole stanowi połowę pola kwadratu ABCD o boku 3, więc możemy zapisać:

[tex]P_t=\frac{1}{2} a^2\\P_t=\frac{1}{2}* 3^2\\P_t=\frac{9}{2}=4,5[/tex]

Krok 2

Wyznaczymy pole wycinka koła ograniczonego łukiem BD i ramionami AB i AD.

Jak widzimy z rysunku, pole tego wycinka jest równe ćwiartce okręgu o promieniu 3, zapiszemy więc:

[tex]P_w=\frac{1}{4} \pi r^2[/tex]

[tex]P_w=\frac{1}{4} \pi *3^2\\P_w=\frac{1}{4} \pi *9\\P_w=\frac{9}{4} \pi =2,25\pi[/tex]

Krok 3

Pole odcinka koła odciętego przez cięciwę BD obliczymy, odejmując od pola wycinka obliczonego w kroku 2, pole trójkąta obliczone w kroku 1:

[tex]P_o=2,25\pi -4,5[/tex]

Krok 4

Figura będąca częścią wspólną  kół składa się z dwóch takich samych odcinków koła ograniczonych cięciwą BD.

Jej pole obliczymy, mnożąc pole odcinka obliczone w kroku 3 razy 2.

[tex]P_f=2*P_o[/tex]

[tex]P_f=2*(2,25\pi -4,5)=4,5\pi -9[/tex]

#SPJ1