Question

Dany jest ciąg an=n-n^2 wskaz wartosc wyrazenia a_{n+1}-a_{n}

Answer 1

Mamy podane [tex]\mathrm{a_n}[/tex], a chcemy znaleźć [tex]\mathrm{a_{n+1}}[/tex]. Popatrz na te dwa zapisy, czym się różnią? Na miejsce [tex]\mathrm{n}[/tex] wskoczyło [tex]\mathrm{n+1}[/tex], zatem należy do wzoru na [tex]\mathrm{a_n}[/tex] za [tex]\mathrm{n}[/tex] podstawić [tex]\mathrm{n+1.}[/tex]

Zróbmy to:

              [tex]\mathrm{a_{n+1}=(n+1)-(n+1)^2}[/tex]

Teraz uprościmy powstałe wyrażenie:

              [tex]\mathrm{a_{n+1}=n+1-(n^2+2n+1)=n+1-n^2-2n-1=-n^2-n}[/tex]

Zatem:

              [tex]\mathrm{a_n=n-n^2} \\ \\ \mathrm{a_{n+1}=-n^2-n}[/tex]

Czyli:

           [tex]\mathrm{a_{n+1}-a_n=-n^2-n-(n-n^2)=-n^2-n-n+n^2=-2n}[/tex]

Odp. [tex]\mathrm{a_{n+1}-a_n=-2n}[/tex]