Question

Dany jest ciąg (an) o wzorze ogólnym an = n^2 + 4n. Określ ten ciąg rekurencyjnie.

Answer 1

[tex]a_n=n^2+4n\\\\a_1=1^2+4*1=1+4=5\\\\a_{n+1}=(n+1)^2+4(n+1)=n^2+2n+1+4n+4=n^2+4n+2n+5=a_n+2n+5\\\\\left\{\begin{array}{l}a_1=5\\a_{n+1}=a_n+2n+5\quad\text{dla }n\geq 1\end{array}\right.[/tex]

Answer 2

Ciąg rekurencyjny

Ciąg nazywamy określonym rekurencyjnie, jeśli każdy jego wyraz zdefiniowany jest poprzez odwołanie się do wyrazów poprzednich.

[tex]a_{n} = n^{2}+4n\\\\a_1 = 1^{2}+4\cdot1 = 1+4 = 5\\\\a_{n+1} = (n+1)^{2} + 4(n+1) = n^{2}+2n+2 + 4n+4 =(n^{2}+4n) + 2n+5\\\\a_{n+1} = a_{n} + 2n+5[/tex]

Zatem ciąg ma wzór rekurencyjny:

[tex]a_1 = 5\\a_{n+1} = a_{n} + 2n + 5 \ \ \ \ dla \ n\geq 1[/tex]