Question

Dane są punkty : A(0, -2), B(2, 4), C(0, 4). Korzystając z twierdzenia Greena, obliczyć całkę: \int\limits^._L {(x^{2}+y^{2}) } \, dx +\frac{1}{2} (x+y)^{2} dy po brzegu L trójkąta ABC zorientowanym dodatnio.

Answer 1

Odpowiedź:

Twierdzenie Greena pozwala obliczyć wartość pola powierzchni trójkąta ABC jako sumę wartości całek po dwóch bokach, zgodnie z wzorem:

\int\limits^.L {(x^{2} + y^{2}) } , dx + \frac{1}{2} (x+y)^{2} dy = \frac{1}{2} (x{B}y_{A} - x_{A}y_{B}) + \frac{1}{2} (x_{C}y_{B} - x_{B}y_{C}) + \frac{1}{2} (x_{A}y_{C} - x_{C}y_{A})

Wartość punktów A, B i C to odpowiednio: A(0, -2), B(2, 4), C(0, 4). Możemy wstawić je do wzoru i obliczyć wartość całki:

\int\limits^._L {(x^{2} + y^{2}) } , dx + \frac{1}{2} (x+y)^{2} dy = \frac{1}{2} (2 * -2 - 0 * 4) + \frac{1}{2} (0 * 4 - 2 * 4) + \frac{1}{2} (0 * -2 - 0 * 4) = -2 + 4 = 2

Wynik to 2.

Szczegółowe wyjaśnienie: