Question

Dane są punkty A(-4,3), B(0,-3) i C(-1,-6). Wyznacz współrzędne punktu P tak aby PA- 2 PB + 3PC = AB

Answer 1

Verified answer

P(-5,5; -1,5)

Wektor w układzie współrzędnych.

Wektor czyli odcinek skierowany ma trzy cechy:

• kierunek
• zwrot
• wartość (długość)

W układzie współrzędnych spotykamy się z dwoma rodzajami wektorów:

• wektor wiązany (dane są współrzędne początku i końca wektora - to jest tylko jeden wektor);
• wektor swobodny (określony jest za pomocą dwóch współrzędnych - takich wektorów jest nieskończenie wiele).

Współrzędne wektora:

[tex]A(x_A,\ y_A),\ B(x_B,\ y_B)\\\\\overrightarrow{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A][/tex]

ROZWIĄZANIE:

Dane są punkty

[tex]A(-4,3), B(0,-3)\ \text{i}\ C(-1,-6)[/tex].

Wyznacz współrzędne punktu [tex]P(x,y)[/tex] tak aby

[tex]\overrightarrow{PA}- 2\overrightarrow{PB} + 3\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{AB}[/tex]

Zapisujemy współrzędne wektorów:

[tex]\overrightarrow{PA}=[-4-x,\ 3-y]\\\\\overrightarrow{PB}=[0-x,\ -3-y]=[-x,\ -3-y]\\\\\overrightarrow{PC}=[-1-x,\ -6-y]\\\\\overrightarrow{AB}=[0-(-4),\ -3-3]=[4,\ -6][/tex]

Podstawiamy:

[tex][-4-x,\ 3-y]-2[-x,\ -3-y]+3[-1-x, -6-y]=[4,-6]\\\\\text{}[-4-x,\ 3-y]-[-2x,-6-2y]+[-3-3x,-18-3y]=[4,-6]\\\\\text{}[-4-x-(-2x)-3-3x, 3-y-(-6-2y)-18-3y]=[4,-6]\\\\\text{}[-2x-7,-2y-9] =[4,-6]\iff-2x-7=4\ \wedge\ -2y-9=-6\\\\-2x=4+7\ \wedge\ -2y=-6+9\\\\-2x=11\ \wedge\ -2y=3\qquad|:(-2)\\\\x=-5,5\ \wedge\ y=-1,5[/tex]

Czyli:

P(-5,5; -1,5)