Question

Dane są proste o równaniach: x+my-m-2=0 mx+y-m=0. Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których iloczyn współrzędnych punktu przecięcia tych prostych jest liczbą nieujemną. Zapisz obliczenia.

Answer 1

[tex]\large\text{$m\in(-\infty,-1) \cup(-1,0\big > \cup\big < 2,\infty)$}[/tex]

Punkt przecięcia prostych

to punkt, wspólny obu prostych, czyli punkt w którym dla tego samego x również igreki są takie same.

Mamy dane:

prostą:    x + my - m - 2 = 0

     stąd:  

             [tex]my = -x + m + 2\qquad/:m\\\\y = \frac{-x + m + 2}m\qquad\qquad \{dla\ m\ne0\}[/tex]

i prostą:  mx + y - m = 0

       stąd:

             [tex]y=-mx+m[/tex]

Skoro y jest taki sam w punkcie przecięcia, to:

       [tex]\frac {-x+m+2}m=-xm+m\qquad/\cdot m\\\\-x+m+2=-xm^2+m^2 \\\\ -x+xm^2=m^2-m-2 \\\\ x(m^2-1)=m^2-m-2\qquad/:(m^2-1)\qquad\quad\{dla\ m\ne-1\ \wedge\ m\ne1\}\\\\ x=\dfrac{m^2-m-2}{m^2-1}= \dfrac{m^2+m-2m-2}{m^2-1} = \dfrac{m(m+1)-2(m+1)}{m^2-1}=\\\\ {}\qquad=\dfrac{(m-2)(m+1)}{(m-1)(m+1)}= \bold{\dfrac{m-2}{m-1}}\\\\\\ y=-\dfrac{m-2}{m-1}\cdot m+m=\dfrac{-m^2+2m}{m-1}+\dfrac{m^2-m}{m-1}=\bold{\dfrac{m}{m-1}}[/tex]

Punkt przecięcia podanych prostych ma współrzędne:

         [tex]\left( \bold{\dfrac{m-2}{m-1}\ ;\ \dfrac{m}{m-1}} \right)[/tex]

Zatem,

iloczyn współrzędnych punktu przecięcia prostych to:

    [tex]\large\text{$\bold{xy}$}=\dfrac{m-2}{m-1}\cdot\dfrac{m}{m-1}}=\bold{ \dfrac{(m-2) m}{(m-1)^2} }[/tex]

Ma być nieujemny, czyli:

  [tex]\large\text{$\bold{xy\geqslant0}$}\\\\\bold{ \dfrac{(m-2) m}{(m-1)^2} }\ \ \large\text{$\bold{\geqslant\ 0}$}[/tex]

Mianownik dla każdego m ≠ 1 ma wartość dodatnią, więc nie wpływa na znak iloczynu xy.

Czyli iloczyn jest nieujemny jeśli:   [tex]\large\text{$\bold{(m-2) m\ \geqslant\ 0}$}[/tex]

miejsca zerowe wyrażenia po lewej stronie to m₁ = 2 i m₂ = 0

współczynnik przy m² wynosi 1, czyli a>0  {ramiona paraboli w górę}

i wyrażenie ≥0 {rozwiązaniem jest część wykresu nad osią X}, czyli:

                   [tex]\large\text{$\bold{xy\geqslant0}$}\quad\ dla\quad\ \large\text{$\bold{m\in(-\infty,0\big > \cup\big < 2,\infty)}$}[/tex]

Dla celów obliczeniowych zakładaliśmy wcześniej, że m≠-1, m≠1 i m≠0, więc należy jeszcze sprawdzić, czy współrzędne punktów przecięcia prostych dla m=-1 i m=0 spełniają warunek (m=1 nie należy do rozwiązania).

dla m = 0, mamy:

x+0y-0-2=0  ⇒   x = 2  to prosta prostopadła do osi 0X

0x+y-0=0  ⇒  y = 0   to równanie osi 0X

Czyli punkt ich przecięcia to:  (2, 0)

2·0 = 0 ≥0  ⇒  dla  m = 0  warunek jest spełniony.

dla m = -1 mamy:

x-y+1-2 = 0  ⇒  y = x-1

-x+y+1 = 0  ⇒  y = x-1

Proste się pokrywają. Iloczyn współrzędnych dowolnego punktu to:

xy = x(x-1)

Czyli dla x∈(0, 1) iloczyn ten jest ujemny.
Skoro warunek nie jest spełniony dla wszystkich punktów (x,y) należących do prostej y = x-1, to m = -1 należy wykluczyć z rozwiązania.

Zatem:

 [tex]\Large\text{$\bold{xy\geqslant0}$}\quad \bold{dla}\quad \Large\text{$\bold{m\in(-\infty,-1) \cup(-1,0\big > \cup\big < 2,\infty)}$}[/tex]