Question

Dane są liczby x, y i z

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]\displaystyle x=log_{a\sqrt{a} }(a+1)\quad a^{2} =a+1\quad \Rightarrow x=log_{a\sqrt{a} }a^{2} \quad \Rightarrow (a\sqrt{a} )^{x}=a^{2} \quad \Rightarrow \\a^{\frac{3}{2}x }=a^{2} \quad \Rightarrow \frac{3}{2} x=2/\cdot\frac{2}{3} \quad \Rightarrow x=\frac{4}{3} \\y=log_{a^{2} +a}a\quad \Rightarrow y=log_{a(a+1)}a\quad \Rightarrow y=log_{a^{3} }a\quad \Rightarrow (a^{3} )^y=a\quad \Rightarrow \\a^{3y}=a^1\quad \Rightarrow 3y=1\quad \Rightarrow y=\frac{1}{3} \\[/tex]

[tex]\displaystyle z=log_{a^{3}+a^2 }\sqrt{a} \quad \Rightarrow z=log_{a^2(a+1)}\sqrt{a} \quad \Rightarrow z=log_{a^4}\sqrt{a} \quad \Rightarrow (a^{4} )^z=\sqrt{a} \\\quad \Rightarrow a^{4z} =a^{\frac{1}{2} }\quad \Rightarrow 4z=\frac{1}{2} /\cdot2\quad \Rightarrow8z=1/:8 \quad \Rightarrow z=\frac{1}{8} \\x=\frac{4}{3} \quad \text{najwieksza}\\z=\frac{1}{8} \quad \text {najmniejsza}\\x-z=\frac{4}{3} -\frac{1}{8} =\frac{32}{24} -\frac{3}{24} =\frac{29}{24}[/tex]

Dziedzinę rozpoczniemy od warunku

[tex]a^{2} =a+1\quad a^{2} -a-1=0\qquad \Delta=1+4=5\quad \sqrt{\Delta } =\sqrt{5} \\a_1=\frac{1+\sqrt{5} }{2} \approx1,618\quad a_2=\frac{1-\sqrt{5} }{2} < 0 \notin D\\D=\{\frac{1+\sqrt{5} }{2}\}[/tex]

inne warunki jak a>0 i a≠1 są spełnione