Question

Dane są długości boków trójkąta ABC: AB = 10cm, BC = 2√21cm, AC = 8cm.

Oblicz:

a) długość środkowej CD

b) pole trójkąta ADC

Answer 1

Odpowiedź:

c = I AB I = 10 cm

b = I AC I = 8 cm

a = I BC I = 2[tex]\sqrt{21}[/tex]

więc   p = ( 10 + 8 + 2[tex]\sqrt{21} ) : 2 = 9 + \sqrt{21}[/tex]

p - a =  9 - [tex]\sqrt{21}[/tex]

p - b = 1 + [tex]\sqrt{21}[/tex] = [tex]\sqrt{21} + 1[/tex]

p - c = [tex]\sqrt{21} - 1[/tex]

Obliczmy pole Δ z wzoru Herona

P = [tex]\sqrt{( 9 + \sqrt{21} )*( 9 - \sqrt{21})*(\sqrt{21} -1)*(\sqrt{21} + 1) } =[/tex]

  = [tex]\sqrt{(81 - 21)*( 21 - 1 )} = \sqrt{60*20} = \sqrt{1200} = \sqrt{400*3} = 20\sqrt{3}[/tex]

oraz

P = 0,5 c*h = 0,5*10*h = 5 h = 20[tex]\sqrt{3}[/tex] / : 5

h = 4[tex]\sqrt{3}[/tex]

====================================

a )    Z tw. Pitagorasa

h² +  ( 5 + x)² = ( 2√21)² = 84

h² + ( 5 - x )² = 8²   = 64

---------  odejmujemy stronami

( 5 + x )² - ( 5 - x )² = 20

25 + 10 x + x² - (  25 - 10 x  + x² ) = 20

20 x = 20

x = 1

więc

h² + 4² = 8²  ⇒ h² = 64 - 16 = 48 = 16*3

h = 4√3

s² = x² + h² = 1² + 48 = 49

s = [tex]\sqrt{49} = 7[/tex]

Odp.   s =  7 cm

===============

b ) Pole Δ ADC

Pt = 0,5*I AD I*h = 0,5*5*4√3 = 10√3

Odp. 10 √3 cm²

===================

Nie było potrzeby obliczania pola Δ ABC z wzoru Herona - ale niech

zostanie.

Szczegółowe wyjaśnienie: