Question

Dana jest prosta o równaniu l: y = 3x - 2 oraz punkt A(-6,4). Wyznacz równanie prostej prostopadłej oraz prostej równoległej przechodzącej przez punkt A.

Answer 1

Verified answer

Odpowiedź:

[tex]\huge\boxed{\begin{array}{ll}\text{Rownolegla:}&y=3x+22\\\text{Prostopadla:}&y=-\dfrac13x+2\end{array}}[/tex]

Proste równoległe i prostopadłe

Proste są równoległe wtedy, kiedy ich współczynniki kierunkowe są równe a prostopadłe wtedy, kiedy ich współczynniki kierunkowe są względem siebie odwrotne i przeciwne.

Jeżeli a₁ i a₂ to współczynniki kierunkowe prostych, to:

[tex]\boxed{\begin{array}{ll}\text{Proste sa rownolegle:}&a_1=a_2\\\text{Proste sa prostopadle:}&a_1\cdot a_2=-1 \Rightarrow a_1=-\dfrac1{a_2}, a_2=-\dfrac1{a_1}\end{array}}[/tex]

Punkt leżący na prostej

Prosta y=ax+b przechodzi przez punkt A=(xₐ, yₐ) wtedy, kiedy zachodzi równość:

[tex]\huge\boxed{y_a=ax_a+b}[/tex]

Rozwiązanie:

Aby wyznaczyć równanie prostej prostopadłej lub równoległej do prostej l: y=3x-2 przechodzącej przez punkt A=(6, 4) należy:

1. Wyznaczyć współczynnik kierunkowy tej prostej, zgodnie z twierdzeniem o prostych prostopadłych i równoległych.
2. Podstawić współrzędne punktu A oraz współczynnik kierunkowy do równania funkcji liniowej i wyznaczyć jej wyraz wolny.
3. Zapisać wzór funkcji.

Wyznaczamy prostą równoległą:

[tex]a_l=3, a_m=3\\\\3\cdot (-6)+b=4\\\\-18+b=4 |+18\\\\b=22\\\\\boxed{m: y=3x+22}[/tex]

Wyznaczamy prostą prostopadłą:

[tex]a_l=3, a_n=-\dfrac13\\\\-\dfrac13\cdot (-6)+b=4\\\\2+b=4 |-2\\\\b=2\\\\\boxed{n: y=-\dfrac13x+2}[/tex]

Answer 2

Odpowiedź:

y₁=a₁x+b₁

y₂=a₂x+b₂

są równoległe jeżeli a₁=a₂

prostopadłe jeżeli a₁a₂=-1

[tex]y_{\parallel}=3x+b\quad A(-6,4)\\4=3\cdot(-6)+b\\b=4+18=22\\\underline{y_{\parallel}=3x+22}\\3\cdot a_{\perp}=-1/:3\\\displaystyle a_\perp=-\frac{1}{3} \\y_{\perp}=-\frac{1}{3} x+b\\4=-\frac{1}{3}\cdot(-6)+b\\b=2\\\underline {y_{\perp}=-\frac{1}{3}x+2 }[/tex]