Dana jest prosta 2x - 3y + 13 = 0 Wskaz prostą do niej równoległą, odległą od niej o 2√13.
A. 2x + 3y - 13 = 0
B. 3x - 2y + 13 = 0
C. 2x - 3y - 13 = 0
D. 3x + 2y + 13 = 0
A. 2x + 3y - 13 = 0
B. 3x - 2y + 13 = 0
C. 2x - 3y - 13 = 0
D. 3x + 2y + 13 = 0
Możemy skorzystać z faktu, że dwie proste są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają takie same współczynniki przy x i y w swoich równaniach ogólnych.
Równanie ogólne danej prostej to 2x - 3y + 13 = 0. Możemy je przekształcić do postaci y = mx + b, gdzie m to współczynnik kierunkowy prostej, czyli -2/3, a b to wyraz wolny, czyli 13/3:
y = (2/3)x + 13/3
Prosta równoległa musi mieć ten sam współczynnik kierunkowy m. Musimy znaleźć teraz taki b, aby prosta była odległa od danej prostej o 2√13. Odległość między dwiema równoległymi prostymi to równa odległości od punktu do prostej, którą można obliczyć za pomocą wzoru:
d = |ax + by + c| / sqrt(a^2 + b^2)
gdzie a i b to współczynniki przy x i y w równaniu prostej, a c to wyraz wolny, a x i y to współrzędne punktu.
W naszym przypadku, odległość między prostymi wynosi 2√13, a a, b i c odpowiadające równaniu danej prostej to odpowiednio 2, -3 i 13. Podstawiając te wartości do wzoru, otrzymujemy:
2√13 = |2x - 3y + 13| / sqrt(2^2 + (-3)^2)
2√13 = |2x - 3y + 13| / sqrt(13)
Mnożąc obie strony równania przez sqrt(13), otrzymujemy:
26 = |2x - 3y + 13|
Możemy teraz rozważyć wszystkie proponowane odpowiedzi i sprawdzić, która prosta spełnia warunki równoległości oraz odległości o 2√13 od danej prostej.
A. 2x + 3y - 13 = 0
Równoległość jest spełniona, ale odległość od punktu (0, 13/3) wynosi:
d = |20 + 3(13/3) - 13| / sqrt(2^2 + 3^2) = 0
Czyli prosta A jest równoległa, ale nie spełnia warunku odległości.
B. 3x - 2y + 13 = 0
Równoległość nie jest spełniona.
C. 2x - 3y - 13 = 0
Równoległość jest spełniona, a odległość od punktu (0, 13/3) wynosi:
d = |20 - 3(13/3) - 13| / sqrt(2^2 + (-3)^2) = 2√13
Czyli prosta C spełnia warunki równoległości oraz odległości.