[tex]x_1-\dfrac{1}{x_1}+x_2-\dfrac{1}{x_2}=1\dfrac{13}{20}\\\\x_1+x_2-\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{33}{20}\\\\(x_1+x_2)-(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2})=\dfrac{33}{20}[/tex] Jak widzimy, pierwszy nawias x_1+x_2 wg wzorów Viette'a równa się -b/a (zatem podstawiać będziemy właśnie współczynniki (b) oraz (a), które podaliśmy na samym początku zadania. Ale musimy wykonać pewne przekształcenie drugiego nawiasu, aby móc wykonać dokładnie takie same podstawienie. Zatem:
Verified answer
Odpowiedź i szczegółowe wyjaśnienie:
Korzystamy ze wzorów Viette'a oraz przekształceń tych wzorów.
Z zadania mamy funkcję:
[tex]f(x)=2x^2+bx-20\\\\a=2;\ b=b;\ c=-20[/tex]
Wzory Viette'a dotyczą pierwiastków równiania, takich, że spełniają zależność:
[tex]x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\\\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}[/tex]
Z zadania mamy, że pierwiastki naszej funkcji spełniają zależność:
[tex]x_1-\dfrac{1}{x_1}+x_2-\dfrac{1}{x_2}=1\dfrac{13}{20}[/tex]
Zatem, przekształćmy powyższą zależność wykorzystując wzory Viette'a:
[tex]x_1-\dfrac{1}{x_1}+x_2-\dfrac{1}{x_2}=1\dfrac{13}{20}\\\\x_1+x_2-\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{33}{20}\\\\(x_1+x_2)-(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2})=\dfrac{33}{20}[/tex]
Jak widzimy, pierwszy nawias x_1+x_2 wg wzorów Viette'a równa się -b/a (zatem podstawiać będziemy właśnie współczynniki (b) oraz (a), które podaliśmy na samym początku zadania.
Ale musimy wykonać pewne przekształcenie drugiego nawiasu, aby móc wykonać dokładnie takie same podstawienie. Zatem:
[tex]\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_2}{x_1x_2}+\dfrac{x_1}{x_1x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}\\\\Podstawiamy\ zaleznosci\ wzorow\ Viette'a:\\\\\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=-\dfrac{b}{a}\cdot\dfrac{a}{c}=-\dfrac{b}{c}[/tex]
ostatecznie otrzymamy:
[tex]-\dfrac{b}{a}-(-\dfrac{b}{c})=\dfrac{33}{20}\\\\-\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{33}{20}\\\\Podstawiamy\ wspolczynniki\ naszej\ funkcji:\\\\-\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{-20}=\dfrac{33}{20}\\\\\dfrac{-10b}{20}-\dfrac{b}{20}=\dfrac{33}{20}\ /\cdot 20\\\\-10b-b=33\\\\-11b=33\ /:(-11)\\\\b=-3[/tex]
Tym samym obliczyliśmy współczynnik (b) naszej funkcji. Zatem nasza funkcja ma postać:
[tex]f(x)=2x^2-3x-20[/tex]
która spełnia zależność z zadania.
Odpowiedź:
rozwiązanie w załączniku