DAJE NAJ I DUŻO PUNKTÓW!!! (w załączniku lepsze graficznie równania) Miejscem zerowym funkcji homograficznej f(x)=(−):(+) jest liczba 3.. Funkcja f jest malejąca w przedziałach: (-ꝏ, -8), (-8, +ꝏ). a) Oblicz wartości współczynników a i b. b) Wyznacz wszystkie argumenty, dla których funkcja f i funkcja h(x)=(−2+6):(+9) przyjmują tę samą wartość.
a) Wartość współczynnika a=3, a wartość współczynnika b=8
b) Funkcja f(x) i funkcja h(x) przyjmują tę samą wartość dla x=3 oraz x=-7.
Funkcja homograficzna
Funkcja homograficzna to postać funkcji wymiernej. Opisujemy ją wzorem:
[tex]f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}[/tex]
Uwaga! Zawsze musimy określić dziedzinę funkcji, pisząc założenie:
[tex]cx+d \neq 0[/tex]
Argument, który nie należy do dziedziny funkcji, tworzy jej asymptotę pionową (funkcja nigdy nie przyjmie wartości dla tego argumentu).
W tym zadaniu przyda nam się również znajomość rozwiązywania równań kwadratowych. Przypomnijmy wzór na deltę i wzory na pierwiastki równania kwadratowego:
[tex]\Delta = b^2-4ac\\\\x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]
Szczegółowe rozwiązanie:
Z polecenia odczytujemy dwie informacje:
Poza tym z własności funkcji homograficznej wiemy, że mianownik musi być różny od zera ⇒ x+b ≠ 0
a) Wykorzystując te założenia obliczamy współczynniki a i b:
[tex]f(x)=\dfrac{a-x}{x+b}\\\\x+b \neq 0\\\\x \neq -b\\\\x\neq -8 \\\\\textbf{b=8}\\\\f(3)=0\\\\0=\dfrac{a-3}{3+8}\\\\0=a-3\\\\\textbf{a=3}[/tex]
Wniosek: Wartość współczynnika a=3, a wartość współczynnika b=8
b) Przyrównujemy do siebie funkcje f(x) i h(x) i zapisujemy założenia:
[tex]\dfrac{3-x}{x+8}=\dfrac{-2x+6}{x+9} \qquad \qquad \qquad \qquad \ x\neq -8, \ x\neq -9\\\\(3-x)(x+9)=(x+8)(-2x+6)\\\\3x+27-x^2-9x=-2x^2+6x-16x+48\\\\x^2+4x-21=0[/tex]
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:
[tex]\Delta=b^2-4ac=4^2-4 \cdot (-21)=16+84 =100\\\\\sqrt{\Delta}=10\\\\x_1=\frac{-4-10}{2}=-7 \\\\ x_2=\frac{-4+10}{2}=3[/tex]
Wniosek: Funkcja f(x) i funkcja h(x) przyjmują tę samą wartość dla x=3 oraz x=-7.
#SPJ1