Question

Dada la ecuación 25x^2+4y^2=10 determine las coordenadas de los vertices ,focos, los ejes mayor y menor la excentricidad ,la longitud de sus lados rectos .

Answer 1

25x² + 4y² = 10 
25x² / 10 + 4y² / 10 = 1
x² / (10 / 25) + y² / (10 / 4) = 1
y² / (10 / 4) + x² / (10 / 25) = 1

Ecuación canónica de la elipse: 
y² / a² + x² / b² = 1,  a > b
Centro:  C(0, 0) 
Eje focal:  x = 0

Semieje mayor = a
Semieje menor = b

a > b
a² > b²
10 / 4 > 10 / 25

a² = 10 / 4
a² = 5 / 2
a = √(5 / 2)

b² = 10 / 25 
b² = 2 / 5
b = √(2 / 5)

Eje mayor = 2a
Eje menor = 2b

2a = 2(√(5 / 2)
2a = 2√(5 / 2)

2b = 2(√(2 / 5))
2b = 2√(2 / 5)

Vértices:  V₁(0, a), V₂(0, - a), V₃(- b, 0), V₄(b, 0)
V₁(0, √(5 / 2)), V₂(0, - √(5 / 2)), V₃(- √(2 / 5), 0), V₄(√(2 / 5), 0)

Focos:  F₁(0, - c), F₂(0, c)
 
Semidistancia focal = c
c² = a² - b²
c² = (√(5 / 2))² - (√(2 / 5))²
c² = 5 / 2 - 2 / 5
c² = (25 - 4) / 10
c² = 21 / 10
c = √(21 / 10)

F₁(0, - √(21 / 10)), F₂(0, √(21 / 10))

Excentricidad = e
e = c / a

e = √(21 / 10) / √(5 / 2)
e = √21 / √10 / √5 / √2
e = √21√2 / (√10√5) 
e = √21√2 / (√2√5√5)
e = √21 / 5

Lado recto = LR
LR = 2b² / a

LR = 2(√(2 / 5))² / √(5 / 2)
LR = 2(2 / 5) / √(5 / 2)
LR = 4 / 5 / √(5 / 2)
LR = 4 / 5 / √5 / √2
LR = 4√2 / 5√5 

Vértices:  V₁(0, √(5 / 2)), V₂(0, - √(5 / 2)), V₃(- √(2 / 5), 0), V₄(√(2 / 5), 0)
Focos:  F₁(0, - √(21 / 10)), F₂(0, √(21 / 10))
2a = 2√(5 / 2)
2b = 2√(2 / 5)
e = √21 / 5
LR = 4√2 / 5√5