7. [tex]\Delta < 0[/tex], a więc ta funkcja nie posiada miejsc zerowych, co za tym idzie - nie można jej przedstawić w postaci iloczynowej.
Jak wyznaczyć współczynniki funkcji kwadratowej?
Postacie funkcji kwadratowej:
postać ogólna funkcji kwadratowej
Gdzie występują współczynniki a (przy x²), b (przy x) oraz c (wyraz wolny). Możemy z niej odczytać np. czy ramiona funkcji skierowane są do góry, czy na dół. Jej ogólny zapis to:
f(x) = ax² + bx + c
Aby podać miejsca zerowe funkcji posługujemy się wzorem na deltę oraz wzorem na miejsca zerowe funkcji:
[tex]\Delta > 0[/tex] - funkcja posiada dwa miejsca zerowe (czyli dwa pierwiastki),
[tex]\Delta=0[/tex] - funkcja posiada jedno miejsce zerowe,
[tex]\Delta < 0[/tex] - funkcja nie posiada miejsc zerowych.
2. postać kanoniczna funkcji kwadratowej
Możemy z niej odczytać współrzędne wierzchołka paraboli funkcji. Jej ogólny zapis to:
f(x) = a(x - p)² + q
Wartość "p" możemy policzyć na dwa sposoby. Po pierwsze wzorem, który jest następujący:
[tex]p=\frac{-b}{2a}[/tex]
gdzie:
b - wartość stojąca przy "x" w funkcji,
a - wartość stojąca przy x² w funkcji.
Po drugie możemy ją obliczyć znając wartości miejsc zerowych funkcji, ponieważ "p" jest średnią arytmetyczną sumy miejsc zerowych:
[tex]p=\frac{x_1+x_2}{2}[/tex]
Pamiętajmy, że wartość "p", czyli pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest również równaniem środka symetrii tej paraboli (x = p).
Aby obliczyć wartość "q", czyli drugą współrzędną wierzchołka paraboli możemy się posłużyć:
1. wzorem na "q":
[tex]q=\frac{-\Delta}{4a}[/tex]
2. wartość "q" obliczymy również znając wartość "p", którą podstawiamy w miejsce "x" w funkcji kwadratowej:
f(p) = q
3. postać iloczynowa funkcji kwadratowej
Możemy z niej odczytać miejsca zerowe funkcji kwadratowej. By odczytać miejsca zerowe tej funkcji musimy zmienić znak w nawiasie na przeciwny np. w funkcji f(x) = 2(x - 2)(x - 3) miejscami zerowymi będą liczby 2 oraz 3. Zapis ogólny tej funkcji to:
[tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex]
Zadanie 5
Z zadania wiemy, że współczynnikiem "a" stojącym przy x² jest liczba 2. Co więcej, mamy w zadaniu podane pierwiastki, czyli miejsca zerowe tej funkcji jakimi są -1 oraz 4. Możemy więc zapisać tę funkcję w postaci iloczynowej:
f(x) = 2(x + 1)(x - 4)
Teraz możemy przejść do postaci ogólnej, przemnażając nawiasy i odczytując wartości współczynników b i c:
f(x) = 2(x² - 4x + x - 4)
f(x) = 2x² - 6x - 8
Współczynnik "b" ma wartość -6, a współczynnik "c" ma wartość -8.
Zadanie 6
Aby napisać równanie symetrii tej funkcji musimy wyliczyć "p", ponieważ równanie symetrii funkcji ma wzór x = p. Zacznijmy od przemnożenia nawiasów:
Aby obliczyć drugą współrzędną wierzchołka, czyli "q" musimy podstawić za "x liczbę 1, ponieważ:
f(p) = q
f(1) = -4 + 8 + 5
f(1) = 9
Wierzchołek ma współrzędne (1, 9)
Zadanie 7
Aby udowodnić, że danej funkcji nie można przedstawić w postaci iloczynowej, musimy udowodnić, że ta funkcja nie ma miejsc zerowych, czyli pierwiastków równania. A więc jeżeli delta będzie mniejsza od 0, to wtedy możemy stwierdzić, że funkcji nie da się przedstawić w postaci iloczynowej:
W drugim wierszu zastosowaliśmy wzór skróconego mnożenia, a mianowicie:
(a - b)(a + b) = a² - b²
Delta jest ujemna ([tex]\Delta=-4[/tex]), więc funkcja nie ma miejsc zerowych, więc nie możemy jej przedstawić w postaci iloczynowej, co mieliśmy udowodnić.
5.
b = -6, c = -8
6.
równanie osi symetrii: x = 1
współrzędne wierzchołka paraboli: W (1, 9)
7. [tex]\Delta < 0[/tex], a więc ta funkcja nie posiada miejsc zerowych, co za tym idzie - nie można jej przedstawić w postaci iloczynowej.
Jak wyznaczyć współczynniki funkcji kwadratowej?
Postacie funkcji kwadratowej:
Gdzie występują współczynniki a (przy x²), b (przy x) oraz c (wyraz wolny). Możemy z niej odczytać np. czy ramiona funkcji skierowane są do góry, czy na dół. Jej ogólny zapis to:
f(x) = ax² + bx + c
Aby podać miejsca zerowe funkcji posługujemy się wzorem na deltę oraz wzorem na miejsca zerowe funkcji:
[tex]\Delta=b^2-4ac\\\\x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\ x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]
Gdy:
[tex]\Delta > 0[/tex] - funkcja posiada dwa miejsca zerowe (czyli dwa pierwiastki),
[tex]\Delta=0[/tex] - funkcja posiada jedno miejsce zerowe,
[tex]\Delta < 0[/tex] - funkcja nie posiada miejsc zerowych.
2. postać kanoniczna funkcji kwadratowej
Możemy z niej odczytać współrzędne wierzchołka paraboli funkcji. Jej ogólny zapis to:
f(x) = a(x - p)² + q
Wartość "p" możemy policzyć na dwa sposoby. Po pierwsze wzorem, który jest następujący:
[tex]p=\frac{-b}{2a}[/tex]
gdzie:
b - wartość stojąca przy "x" w funkcji,
a - wartość stojąca przy x² w funkcji.
Po drugie możemy ją obliczyć znając wartości miejsc zerowych funkcji, ponieważ "p" jest średnią arytmetyczną sumy miejsc zerowych:
[tex]p=\frac{x_1+x_2}{2}[/tex]
Pamiętajmy, że wartość "p", czyli pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest również równaniem środka symetrii tej paraboli (x = p).
Aby obliczyć wartość "q", czyli drugą współrzędną wierzchołka paraboli możemy się posłużyć:
1. wzorem na "q":
[tex]q=\frac{-\Delta}{4a}[/tex]
2. wartość "q" obliczymy również znając wartość "p", którą podstawiamy w miejsce "x" w funkcji kwadratowej:
f(p) = q
3. postać iloczynowa funkcji kwadratowej
Możemy z niej odczytać miejsca zerowe funkcji kwadratowej. By odczytać miejsca zerowe tej funkcji musimy zmienić znak w nawiasie na przeciwny np. w funkcji f(x) = 2(x - 2)(x - 3) miejscami zerowymi będą liczby 2 oraz 3. Zapis ogólny tej funkcji to:
[tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex]
Zadanie 5
Z zadania wiemy, że współczynnikiem "a" stojącym przy x² jest liczba 2. Co więcej, mamy w zadaniu podane pierwiastki, czyli miejsca zerowe tej funkcji jakimi są -1 oraz 4. Możemy więc zapisać tę funkcję w postaci iloczynowej:
f(x) = 2(x + 1)(x - 4)
Teraz możemy przejść do postaci ogólnej, przemnażając nawiasy i odczytując wartości współczynników b i c:
f(x) = 2(x² - 4x + x - 4)
f(x) = 2x² - 6x - 8
Współczynnik "b" ma wartość -6, a współczynnik "c" ma wartość -8.
Zadanie 6
Aby napisać równanie symetrii tej funkcji musimy wyliczyć "p", ponieważ równanie symetrii funkcji ma wzór x = p. Zacznijmy od przemnożenia nawiasów:
y = (5 - 2x)(2x + 1)
y= (10x + 5 -4x² - 2x)
y = -4x² + 8x + 5
Teraz możemy obliczyć wartość "p":
[tex]p = \frac{-b}{2a} \\p = \frac{-8}{-8}\\ p=1[/tex]
Równanie symetrii ma więc postać x = 1.
Aby obliczyć drugą współrzędną wierzchołka, czyli "q" musimy podstawić za "x liczbę 1, ponieważ:
f(p) = q
f(1) = -4 + 8 + 5
f(1) = 9
Wierzchołek ma współrzędne (1, 9)
Zadanie 7
Aby udowodnić, że danej funkcji nie można przedstawić w postaci iloczynowej, musimy udowodnić, że ta funkcja nie ma miejsc zerowych, czyli pierwiastków równania. A więc jeżeli delta będzie mniejsza od 0, to wtedy możemy stwierdzić, że funkcji nie da się przedstawić w postaci iloczynowej:
Założenie:
[tex]\Delta < 0[/tex]
f(x) = (√3 - 1)x² - 2x + √3 + 1
Wypiszmy współczynniki:
a = √3 - 1
b = -2
c = √3 + 1
Obliczmy deltę:
[tex]\Delta=b^2-4ac\\\Delta=(-2)^2-4*(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)\\\Delta=4 - 4*(3-1)\\\Delta = 4 - 4*2\\\Delta = 4 - 8\\\Delta=-4[/tex]
W drugim wierszu zastosowaliśmy wzór skróconego mnożenia, a mianowicie:
(a - b)(a + b) = a² - b²
Delta jest ujemna ([tex]\Delta=-4[/tex]), więc funkcja nie ma miejsc zerowych, więc nie możemy jej przedstawić w postaci iloczynowej, co mieliśmy udowodnić.
#SPJ1