Wzory na tangens: [tex]\boxed{\begin{array}{l}tg\alpha=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}\\\\tg\alpha\cdot ctg\alpha=1\\\\tg\alpha=\dfrac1{ctg\alpha}\end{array}}[/tex]
Wzory na cotangens: [tex]\boxed{\begin{array}{l}ctg\alpha=\dfrac{cos\alpha}{sin\alpha}\\\\ctg\alpha\cdot tg\alpha=1\\\\ctg\alpha=\dfrac1{tg\alpha}\end{array}}[/tex]
Zadanie polega na obliczeniu podanych wyrażeń wiedząc, że α jest kątem ostrym, a: [tex]sin\alpha cos\alpha=\dfrac14[/tex]
a)
[tex]sin\alpha+cos\alpha=\:?[/tex]
Podnieśmy całe to wyrażenie do kwadratu i skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:
Pamiętamy, że w przykładzie a) obliczyliśmy wartość sumy funkcji sinus i cosinus. Iloczyn tych funkcji jest dany w treści zadania. Podstawiamy te liczby do równania:
Verified answer
[tex]\boxed{\begin{array}{llll}a)&sin\alpha+cos\alpha=\dfrac{\sqrt6}2,&c)&sin^3\alpha+cos^3\alpha=\dfrac{3\sqrt6}8\\\\b)&\dfrac{sin\alpha+cos\alpha}{sin\alpha-cos\alpha}=\sqrt3,&d)&sin^6\alpha+cos^6\alpha=\dfrac{13}{16}\end{array}}[/tex]
Funkcje trygonometryczne kątów ostrych
Przypomnijmy podstawowe własności trygonometryczne:
[tex]\boxed{sin^2\alpha+cos^2\alpha=1}[/tex]
[tex]\boxed{\begin{array}{l}tg\alpha=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}\\\\tg\alpha\cdot ctg\alpha=1\\\\tg\alpha=\dfrac1{ctg\alpha}\end{array}}[/tex]
[tex]\boxed{\begin{array}{l}ctg\alpha=\dfrac{cos\alpha}{sin\alpha}\\\\ctg\alpha\cdot tg\alpha=1\\\\ctg\alpha=\dfrac1{tg\alpha}\end{array}}[/tex]
Zadanie polega na obliczeniu podanych wyrażeń wiedząc, że α jest kątem ostrym, a:
[tex]sin\alpha cos\alpha=\dfrac14[/tex]
a)
[tex]sin\alpha+cos\alpha=\:?[/tex]
Podnieśmy całe to wyrażenie do kwadratu i skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:
⇒ (a+b)²=a²+2ab+b²
[tex]\left(sin\alpha+cos\alpha)^2=\underline{sin^2\alpha+cos^2\alpha}+2sin\alpha cos\alpha[/tex]
Zauważmy, że w rozwinięciu tego wyrażenia pojawia się jedynka trygonometryczna:
[tex](sin\alpha+cos\alpha)^2=1+2sin\alpha cos\alpha[/tex]
Znamy równowartość iloczynu funkcji sinus i cosinus, którą podstawiamy do równania:
[tex](sin\alpha+cos\alpha)^2=1+2\cdot \dfrac14\\\\(sin\alpha+cos\alpha)^2=1+\dfrac12\\\\(sin\alpha+cos\alpha)^2=\dfrac32[/tex]
Pierwiastkujemy obustronnie całe równania:
[tex]\begin{array}{lll}(sin\alpha+cos\alpha)^2=\dfrac32&|&\sqrt{}\\\\sin\alpha+cos\alpha=\sqrt{\dfrac32}\\\\sin\alpha+cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt2}\end{array}[/tex]
Usuwamy niewymierność z mianownika:
[tex]sin\alpha+cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}\\\\\boxed{\bold{\underline{sin\alpha+cos\alpha=\dfrac{\sqrt6}2}}}[/tex]
b)
[tex]\dfrac{sin\alpha+cos\alpha}{sin\alpha-cos\alpha}=\:?[/tex]
Podnieśmy cały ułamek do kwadratu i skorzystajmy ze wzorów skróconego mnożenia na kwadrat sumy i różnicy:
⇒ (a+b)²=a²+2ab+b²
⇒ (a-b)²=a²-2ab+b²
[tex]\left(\dfrac{sin\alpha+cos\alpha}{sin\alpha-cos\alpha}\right)^2=\dfrac{(sin\alpha+cos\alpha)^2}{(sin\alpha-cos\alpha)^2}=\dfrac{\underline{sin^2\alpha+cos^2\alpha}+2sin\alpha cos\alpha}{\underline{sin^2\alpha+cos^2\alpha}-2sin\alpha cos\alpha}[/tex]
Zarówno w liczniku i mianowniku pojawiła się Jedynka Trygonometryczna:
[tex]\left(\dfrac{sin\alpha+cos\alpha}{sin\alpha-cos\alpha}\right)^2=\dfrac{1+2sin\alpha cos\alpha}{1-2sin\alpha cos\alpha}[/tex]
Podstawiamy znaną nam wartość iloczynu funkcji sinus i cosinus:
[tex]\left(\dfrac{sin\alpha+cos\alpha}{sin\alpha-cos\alpha}\right)^2=\dfrac{1+2\cdot \frac14}{1-2\cdot\frac14}\\\\\left(\dfrac{sin\alpha+cos\alpha}{sin\alpha-cos\alpha}\right)^2=\dfrac{1+\frac12}{1-\frac12}\\\\\left(\dfrac{sin\alpha+cos\alpha}{sin\alpha-cos\alpha}\right)^2=\dfrac{\frac32}{\frac12}\\\\[/tex]
[tex]\left(\dfrac{sin\alpha+cos\alpha}{sin\alpha-cos\alpha}\right)^2=\dfrac32:\dfrac12\\\\\left(\dfrac{sin\alpha+cos\alpha}{sin\alpha-cos\alpha}\right)^2=\dfrac32\cdot 2\\\\\left(\dfrac{sin\alpha+cos\alpha}{sin\alpha-cos\alpha}\right)^2=3[/tex]
Pierwiastkujemy całe równanie:
[tex]\begin{array}{lll}\left(\dfrac{sin\alpha+cos\alpha}{sin\alpha-cos\alpha}\right)^2=3&|&\sqrt{}\\\\\boxed{\bold{\underline{\dfrac{sin\alpha+cos\alpha}{sin\alpha-cos\alpha}=\sqrt3}}}\end{array}[/tex]
c)
[tex]sin^3\alpha+cos^3\alpha=\:?[/tex]
Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów:
⇒ a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
[tex]sin^3\alpha+cos^3\alpha=(sin\alpha+cos\alpha)(sin^2\alpha-sin\alpha cos\alpha+cos^2\alpha)\\\\[/tex]
W drugim nawiasie pojawiła się Jedynka Trygonometryczna:
[tex]sin^3\alpha+cos^3\alpha=(sin\alpha+cos\alpha)(1-sin\alpha cos\alpha)[/tex]
Pamiętamy, że w przykładzie a) obliczyliśmy wartość sumy funkcji sinus i cosinus. Iloczyn tych funkcji jest dany w treści zadania. Podstawiamy te liczby do równania:
[tex]sin^3\alpha+cos^3\alpha=\dfrac{\sqrt6}{2}\cdot \left(1-\dfrac14\right)\\\\sin^3\alpha+cos^3\alpha=\dfrac{\sqrt6}2\cdot \dfrac34\\\\\boxed{\underline{\bold{sin^3\alpha+cos^3\alpha=\dfrac{3\sqrt6}8}}}[/tex]
d)
[tex]sin^6\alpha+cos^6\alpha=\:?[/tex]
Przypomnijmy wzór na wielokrotne podniesienie do potęgi:
⇒ (xᵃ)ᵇ=xᵃᵇ
W związku z powyższym wzorem, wyrażenie możemy przekształcić do następującego zapisu:
[tex]sin^6\alpha+cos^6\alpha=(sin^3\alpha)^2+(cos^3\alpha)^2[/tex]
Wyznaczmy sin⁶α + cos⁶α z wykorzystaniem wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:
⇒ (a+b)²=a²+2ab+b²
[tex]\begin{array}{lll}(sin^3\alpha+cos^3\alpha)^2=sin^6\alpha+cos^6\alpha+2sin^3\alpha cos^3\alpha&|&-2sin^3\alpha cos^3\alpha\\\\sin^6\alpha+cos^6\alpha=(sin^3\alpha+cos^3\alpha)^2-2sin^3\alpha cos^3\alpha\\\\sin^6\alpha+cos^6\alpha=(sin^3\alpha+cos^3\alpha)^2-2(sin\alpha cos\alpha)^3\end{array}[/tex]
Wartość sin³α + cos³α wyznaczyliśmy już w przykładzie c). Znamy iloczyn funkcji sinus i cosinus z treści zadania. Podstawiamy wartości:
[tex]sin^6\alpha+cos^6\alpha=\left(\dfrac{3\sqrt6}8\right)^2-2\cdot \left(\dfrac14\right)^3\\\\sin^6\alpha+cos^6\alpha=\dfrac{9\cdot 6}{64}-2\cdot \dfrac1{64}\\\\sin^6\alpha+cos^6\alpha=\dfrac{54}{64}-\dfrac2{64}\\\\sin^6\alpha+cos^6\alpha=\dfrac{52}{64}[/tex]
Skracamy otrzymany ułamek:
[tex]\boxed{\underline{\bold{sin^6\alpha+cos^6\alpha=\dfrac{13}{16}}}}[/tex]