(a) Aby udowodnić, że 1/i = -i, należy pomnożyć obie strony przez i:
1/i * i = -i * i
i/i = -i^2
1 = -(-1) // ponieważ i^2 = -1, zatem -i^2 = -(-1) = 1
1 = 1
Zatem 1/i = -i.
(b) i to jednostka urojona, co oznacza, że i^2 = -1. Z tego wynika, że:
i^3 = i^2 * i = -i
i^4 = i^2 * i^2 = (-1) * (-1) = 1
i^5 = i^4 * i = i
(c) Sprzężenie zespolone to liczba, która różni się od danej liczby jedynie znakiem części urojonej. Zatem:
sprzężenie dla -4: -4
sprzężenie dla -21: -21
sprzężenie dla 6+3i: 6-3i
sprzężenie dla 2e^i: 2e^(-i)
(d) Aby udowodnić równości, należy skorzystać z definicji funkcji trygonometrycznych w postaci szeregów Taylora i założenia, że e^(ix) = cos(x) + isin(x):
sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)
= (cos(x) + isin(x) - cos(x) + isin(-x)) / (2i)
= (2isin(x)) / (2i)
= sin(x)
cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2
= (cos(x) + isin(x) + cos(x) - isin(x)) / 2
= (2*cos(x)) / 2
= cos(x)
Zatem udowodniliśmy, że:
sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)
cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2
2
Aby obliczyć komutator [z^3, d/dz], należy wykorzystać definicję komutatora:
[A, B] = AB - BA
W tym przypadku mamy:
A = z^3
B = d/dz
Zatem:
AB = z^3 (d/dz)
BA = d/dz (z^3)
Aby obliczyć te wyrażenia, należy skorzystać z reguły iloczynu:
Zatem d/dx jest addytywny, ponieważ działa na sumę funkcji tak, jakby działał na każdą z nich osobno.
Homogeniczność:
d/dx (af(x)) = lim(h->0) [af(x+h) - af(x)]/h
= a lim(h->0) [f(x+h) - f(x)]/h
= a d/dx f(x)
Zatem d/dx jest homogeniczny, ponieważ działa na funkcję pomnożoną przez stałą, tak jakby działał na tę funkcję i na tę stałą osobno.
Zatem d/dx jest operatorem liniowym.
(b) Aby udowodnić, że fdx jest operatorem liniowym, musimy pokazać, że spełnia on dwie własności: addytywność i homogeniczność.
Addytywność:
f(x)dx + g(x)dx = (f(x) + g(x))dx
Zatem fdx jest addytywny, ponieważ działa na sumę funkcji tak, jakby działał na każdą z nich osobno.
Homogeniczność:
af(x)dx = a(f(x)dx)
Zatem fdx jest homogeniczny, ponieważ działa na funkcję pomnożoną przez stałą, tak jakby działał na tę funkcję i na tę stałą osobno.
Zatem fdx jest operatorem liniowym.
4
(a) Aby znaleźć operator równoważny operatorowi (d/dx + x^)2, możemy skorzystać z równania:
(Tf)(x) = f(x+a)
gdzie T jest operatorem przesunięcia o wartość a.
Rozważmy najpierw operator d/dx + x^. Możemy go zapisać jako sumę operatora liniowego d/dx oraz operatora nieliniowego x^.
Zatem (d/dx + x^)2 = (d/dx)2 + 2(d/dx)(x^) + (x^)2
Zauważmy, że operator (d/dx)2 jest równoważny operatorowi drugiej pochodnej d^2/dx^2, który jest liniowy.
Operator (x^)2 jest nieliniowy, ale możemy go przedstawić jako iloczyn skalarny x^·x^, gdzie x^· oznacza operację mnożenia skalarnego. Możemy teraz zastosować regułę równoważności:
(TAB)(x) = T(A(TB))(x)
Stosując tę regułę, możemy przekształcić nasz operator:
Zatem operator równoważny operatorowi (d/dx + x^)2 to:
(d/dx)2 + 2(d/dx)(x^·x^) + (x^·(d/dx + 2ax^)x^)
(b) Aby znaleźć operator równoważny operatorowi (d/dx - x^)2, możemy zastosować analogiczną metodę. W tym przypadku operator nieliniowy to -x^, a nie x^.
Podobnie jak w poprzednim przypadku, możemy zapisać:
(d/dx - x^)2 = (d/dx)2 - 2(d/dx)(x^) + (x^)2
Operator (d/dx)2 jest nadal równoważny drugiej pochodnej d^2/dx^2.
Możemy zastosować regułę równoważności dla operatora iloczynu skalarnego:
(TAB)(x) = T(A(TB))(x)
Stosując tę regułę, możemy przekształcić operator (x^)2:
(Tx^·x^)(f)(x) = (-x^)·(f(x+a))x^
Możemy teraz zapisać operator równoważny operatorowi (d/dx - x^)2:
1
(a) Aby udowodnić, że 1/i = -i, należy pomnożyć obie strony przez i:
1/i * i = -i * i
i/i = -i^2
1 = -(-1) // ponieważ i^2 = -1, zatem -i^2 = -(-1) = 1
1 = 1
Zatem 1/i = -i.
(b) i to jednostka urojona, co oznacza, że i^2 = -1. Z tego wynika, że:
i^3 = i^2 * i = -i
i^4 = i^2 * i^2 = (-1) * (-1) = 1
i^5 = i^4 * i = i
(c) Sprzężenie zespolone to liczba, która różni się od danej liczby jedynie znakiem części urojonej. Zatem:
sprzężenie dla -4: -4
sprzężenie dla -21: -21
sprzężenie dla 6+3i: 6-3i
sprzężenie dla 2e^i: 2e^(-i)
(d) Aby udowodnić równości, należy skorzystać z definicji funkcji trygonometrycznych w postaci szeregów Taylora i założenia, że e^(ix) = cos(x) + isin(x):
sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)
= (cos(x) + isin(x) - cos(x) + isin(-x)) / (2i)
= (2isin(x)) / (2i)
= sin(x)
cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2
= (cos(x) + isin(x) + cos(x) - isin(x)) / 2
= (2*cos(x)) / 2
= cos(x)
Zatem udowodniliśmy, że:
sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)
cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2
2
Aby obliczyć komutator [z^3, d/dz], należy wykorzystać definicję komutatora:
[A, B] = AB - BA
W tym przypadku mamy:
A = z^3
B = d/dz
Zatem:
AB = z^3 (d/dz)
BA = d/dz (z^3)
Aby obliczyć te wyrażenia, należy skorzystać z reguły iloczynu:
(d/dz) (z^3) = 3z^2
Zatem:
AB = z^3 (d/dz) = z^3 * (d/dz) = 3z^2 * z^3 = 3z^5
BA = d/dz (z^3) = 3z^2 * (d/dz) z = 3z^2
Wstawiając wartości do definicji komutatora otrzymujemy:
[z^3, d/dz] = AB - BA = 3z^5 - 3z^2
Zatem komutator [z^3, d/dz] wynosi 3z^5 - 3z^2.
3
(a) Aby udowodnić, że d/dx jest operatorem liniowym, musimy pokazać, że spełnia on dwie własności: addytywność i homogeniczność.
Addytywność:
d/dx (f(x) + g(x)) = lim(h->0) [f(x+h) + g(x+h) - f(x) - g(x)]/h
= lim(h->0) [f(x+h) - f(x)]/h + lim(h->0) [g(x+h) - g(x)]/h
= d/dx f(x) + d/dx g(x)
Zatem d/dx jest addytywny, ponieważ działa na sumę funkcji tak, jakby działał na każdą z nich osobno.
Homogeniczność:
d/dx (af(x)) = lim(h->0) [af(x+h) - af(x)]/h
= a lim(h->0) [f(x+h) - f(x)]/h
= a d/dx f(x)
Zatem d/dx jest homogeniczny, ponieważ działa na funkcję pomnożoną przez stałą, tak jakby działał na tę funkcję i na tę stałą osobno.
Zatem d/dx jest operatorem liniowym.
(b) Aby udowodnić, że fdx jest operatorem liniowym, musimy pokazać, że spełnia on dwie własności: addytywność i homogeniczność.
Addytywność:
f(x)dx + g(x)dx = (f(x) + g(x))dx
Zatem fdx jest addytywny, ponieważ działa na sumę funkcji tak, jakby działał na każdą z nich osobno.
Homogeniczność:
af(x)dx = a(f(x)dx)
Zatem fdx jest homogeniczny, ponieważ działa na funkcję pomnożoną przez stałą, tak jakby działał na tę funkcję i na tę stałą osobno.
Zatem fdx jest operatorem liniowym.
4
(a) Aby znaleźć operator równoważny operatorowi (d/dx + x^)2, możemy skorzystać z równania:
(Tf)(x) = f(x+a)
gdzie T jest operatorem przesunięcia o wartość a.
Rozważmy najpierw operator d/dx + x^. Możemy go zapisać jako sumę operatora liniowego d/dx oraz operatora nieliniowego x^.
Zatem (d/dx + x^)2 = (d/dx)2 + 2(d/dx)(x^) + (x^)2
Zauważmy, że operator (d/dx)2 jest równoważny operatorowi drugiej pochodnej d^2/dx^2, który jest liniowy.
Operator (x^)2 jest nieliniowy, ale możemy go przedstawić jako iloczyn skalarny x^·x^, gdzie x^· oznacza operację mnożenia skalarnego. Możemy teraz zastosować regułę równoważności:
(TAB)(x) = T(A(TB))(x)
Stosując tę regułę, możemy przekształcić nasz operator:
(d/dx + x^)2 = (d/dx)2 + 2(d/dx)(x^) + (x^)2 = (d/dx)2 + 2(d/dx)(x^·x^) + (x^·x^)(d/dx)2
Teraz zastosujemy operator przesunięcia o wartość a do operatora nieliniowego x^·x^:
(Tx^·x^)(f)(x) = x^·(f(x+a))x^
Możemy zatem zapisać:
(d/dx + x^)2 = (d/dx)2 + 2(d/dx)(x^·x^) + (x^·(d/dx + 2ax^)x^)
Zatem operator równoważny operatorowi (d/dx + x^)2 to:
(d/dx)2 + 2(d/dx)(x^·x^) + (x^·(d/dx + 2ax^)x^)
(b) Aby znaleźć operator równoważny operatorowi (d/dx - x^)2, możemy zastosować analogiczną metodę. W tym przypadku operator nieliniowy to -x^, a nie x^.
Podobnie jak w poprzednim przypadku, możemy zapisać:
(d/dx - x^)2 = (d/dx)2 - 2(d/dx)(x^) + (x^)2
Operator (d/dx)2 jest nadal równoważny drugiej pochodnej d^2/dx^2.
Możemy zastosować regułę równoważności dla operatora iloczynu skalarnego:
(TAB)(x) = T(A(TB))(x)
Stosując tę regułę, możemy przekształcić operator (x^)2:
(Tx^·x^)(f)(x) = (-x^)·(f(x+a))x^
Możemy teraz zapisać operator równoważny operatorowi (d/dx - x^)2:
(d/d