Question

¿Cuántos números, entre 100 y 200, cumplen la propiedad que al ser divididos entre 2, entre
3 o entre 5, siempre dejan residuo 1?

Answer 1

Explicación paso a paso:

Según ese algoritmo o fórmula de la división dice:

Dividendo = Divisor × Cociente + Residuo

Represento cualquier número a cumplir la condición pedida como "x" y el cociente como "y" ya que el divisor será 36.

Sustituyo en esa fórmula

x = 36 · y + 3 · y ... reduzco el término semejante...

x = 39y

Ese resultado me dice que cumplirán dicha condición TODOS LOS MÚLTIPLOS DE 39 por tanto, infinitos números.

y lo vemos rápidamente dando valores a "y".

Para y=1 ... x = 39×1 = 39

39 lo dividimos entre 36, tenemos 1 de cociente y 3 de residuo. Se cumple la condición de que el residuo es el triple del cociente.

Para y=2 ... x = 39×2 = 78

78 lo dividimos entre 36, tenemos 2 de cociente y 6 de residuo. Se cumple la condición de que el residuo es el triple del cociente.

Para y=3 ... x = 39×3 = 117

117 lo dividimos entre 36, tenemos 3 de cociente y 9 de residuo. Se cumple la condición de que el residuo es el triple del cociente.

Y así con todos los múltiplos de 39.

Punto 2 .-

Tomando una división de resto cero para verlo mejor diríamos que:

Dividendo (a) = divisor (b) × cociente (c)

a = b × c

Duplicamos el dividendo y, para que la igualdad se mantenga, hay que multiplicar por 2 el otro lado de la ecuación así que tenemos:

2a = 2 (b×c)

Y aquí hay que tener claro una cuestión. El divisor lo mantenemos con su mismo valor así que la ecuación se puede escribir así:

2a = b × 2c (por la propiedad conmutativa del producto)

Y de ahí ya se deduce claramente la respuesta:

Si multiplicamos el dividendo por 2, el cociente resultante también queda multiplicado por 2.

Punto 3 .-

En el caso concreto de que el divisor sea 501 y el residuo sea 10, la conclusión es la misma.

a = 501 × c + 10

duplicamos en ambos lados...

2a = 2×(501×c + 10)

2a = 501 × 2c + 20

Es decir, igualmente el cociente queda multiplicado por 2, igual que el residuo