Question

¿cuantos numeros enteros positivos menores que 1000 son cuadrados perfectos y múltiplos de 7? Pls

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Soluciones

1. El profesor Darío dividió 111111111111111111 entre 9 y así obtuvo el

número mágico 12345679012345679. Para cualquier cifra x del 1 al 9, si el

número mágico se multiplica por 9x el resultado será xxxxxxxxxxxxxxxxxx.

2. No. Como el último dígito de un producto sólo depende de los últimos

dígitos de los factores, basta examinar los productos 1 × 2 = 2, 2 × 3 =

6,3 × 4 = 12, 4 × 5 = 20, 5 × 6 = 30, 6 × 7 = 42, 7 × 8 = 56, 8 × 9 = 72 y

9×0 = 0 para convencerse de que el producto de dos enteros consecutivos sólo

puede terminar en 0, 2 ó 6.

3. Si se escriben Las primeras potencias de 2: 2

1 = 2, 2

2 = 4, 2

3 = 8, 2

4 = 16,

2

5 = 32, 2

6 = 64, 2

7 = 128, 2

8 = 256, 2

9 = 512,. . . se observa que la última

cifra se repite periódicamente: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6,. . . Esto es consecuencia de

que el último dígito de un producto sólo depende de los últimos dígitos de los

factores, así la siguiente a cualquier potencia de 2 que termine en 2 terminará

en 2×2 = 4, la siguiente a cualquiera que termine en 4 terminará en 4×2 = 8,

la siguiente a cualquiera que termine en 8 terminará en 6 (pues 8 × 2 = 16 y

la siguiente a cualquiera que termine en 4 terminará en 2 (pues 6 × 2 = 12.

Como 2011 = 502 × 4 + 3, 2

2011 termina en 8.

4. No, porque un cuadrado perfecto sólo puede terminar en 0, 1, 4, 5, 6 ó 9.

5. Se trata de hallar un número abc . . . xyz tal que zabc . . . xy = 2·abc . . . xyz,

o bien

abc . . . vwxyz

×2

zabc . . . vwxy

Observe que z debe ser al menos 2. Supongamos que z = 2. Entonces, como

2 · 2 = 4, debe ser y = 4. Ahora, como 4 · 2 = 8, debe ser x = 8. Y como

8 · 2 = 16, debe ser w = 6 y nos llevamos 1. Ahora 6 · 2 + 1 = 13, por lo tanto

v = 3.

abc . . . 36842

×2

zabc . . . 3684

La idea es continuar de esta manera hasta que, al hacer el producto, se obtenga

nuevamente la cifra 2, sin acarreo. Así resulta lo siguiente:

Answer 2

Ejemplo 1. En una de sus clases el profesor Darío escribió en la pizarra el

número 12345679012345679, y dijo que era mágico. —¡Profesor, olvidó el 8! —

Bueno, sí, pero no importa, dejémoslo así. . .—Profesor, ¿y qué tiene de mágico

ese número? —´Pues veamos, díganme una cifra del 1 al 9. —¡El 7, el 7! —

Multipliquen el número mágico por 63. Los alumnos lo hacen, y obtienen con

asombro 777777777777777777. ¿Qué hubiese respondido Darío si los alumnos

escogen el 3, o cualquier otra cifra? ¿Qué explicación tiene todo esto?

Ejemplo 2. El producto de dos enteros consecutivos, ¿puede terminar en 8?

Ejemplo 3. ¿En qué dígito termina 2

2011?

Ejemplo 4. Juan tiene 5 tarjetas con el número 2, 8 tarjetas con el número 3,

10 tarjetas con el número 7 y 20 tarjetas con el número 8, y las usa para formar

números de varias cifras, colocándolas en fila. ¿Puede formar un número que

sea un cuadrado perfecto?

Ejemplo 5. Halle un número natural tal que, si su última cifra a la derecha se

mueve al primer lugar de la izquierda, se obtiene un número doble del original.