Question

Cual es el area del triángulo cuyos vértices son los puntos A(7,-8) B(9,2) C(-3,-3)

Answer 1

Respuesta:

El semiperímetro suele denotarse por

 

p = \cfrac{a + b + c}{2}

 

por lo que la fórmula del área suele expresarse por

 

A = r \cdot p

 

Fórmula de Herón

 

formula de Heron

 

Si se conocen los tres lados a, b, c del triángulo, entonces la fórmula para encontrar el área viene dada por

 

A = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}.

 

donde p es el semiperímetro del triángulo

 

p = \cfrac{a+ b + c}{2}.

 

Área de un triángulo conociendo las coordenadas de los vértices

 

Cuando se conocen los vértices de un triángulo, se tienen dos formas de calcular el área

 

Área utilizando vectores

 

area de triangulo con vectores

 

Conociendo los vértices A, B, C del triángulo, el área es igual a la mitad del producto escalar, en valor absoluto, del vector perpendicular a \overrightarrow{AB}  por el vector \overrightarrow{AC}

 

A = \cfrac{\left | \displaystyle \overrightarrow{n_{AB}} \cdot \overrightarrow{AC} \right |}{2}.

 

Ejemplo: Calcular el área de un triángulo cuyos vértices son: A(2, 0), B(3,4) y C(-2,5).

 

1Primero calculamos los vectores \overrightarrow{AB} y \overrightarrow{AC}

 

\overrightarrow{AB} = (3 - 2, 4 - 0) = (1, 4).

 

\overrightarrow{AC} = (-2 - 2, 5 - 0) = (-4, 5).

 

2Calculamos el vector perpendicular a \overrightarrow{AB}

 

\overrightarrow{n}_{AB} = (4, -1) .

 

3Aplicamos la fórmula para obtener el área del triángulo

 

A = \cfrac{\left | (4, -1) \cdot (-4, 5) \right |}{2} = \cfrac{21}{2} \, u^2.

 

Área por determinantes

 

area de triangulo con vectores

 

Conociendo los vértices A(a_1, a_2), B(b_1, b_2), C(c_1, c_2) del triángulo, el área es igual a la mitad del valor absoluto del  determinante de 3 \times 3 cuyas filas están conformadas por los vértices y en la tercera columna tienen el elemento uno

 

A = \cfrac{1}{2} \cdot \left | \left | \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & 1 \\  b_1 & b_2 & 1 \\ c_1, & c_2 & 1 \end{array} \right | \right |.

 

Para resolver el determinante de orden tres utilizamos la regla de Sarrus.

 

Ejemplo: Calcular el área de un triángulo cuyos vértices son: A(2, 0), B(3,4) y C(-2,5).

 

1Primero sustituimos los vértices en la fórmula del área

 

A = \cfrac{1}{2} \cdot \left | \left | \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ -2, & 5 & 1 \end{array} \right | \right |.

 

2Aplicamos la regla de Sarrus para calcular el determinante

 

\begin{array}{rcl} \left | \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ -2, & 5 & 1 \end{array} \right | & = & 2 \cdot 4 \cdot 1 + 0 \cdot 1 \cdot (-2) + 3 \cdot 5 \cdot 1 - 1 \cdot 4 \cdot (-2) - 0 \cdot 3 \cdot 1 - 2 \cdot 5 \cdot 1  \\\\ & = & 21 \end{array} .

 

3Así, el área buscada es

 

A = \cfrac{21}{2} \, u^2.

 

Área de un triángulo conociendo su vértices en el espacio

 

area de un triangulo en el espacio

 

Conociendo los vértices del triángulo, el área es igual a la mitad de la magnitud del producto vectorial de los vectores correspondientes a dos de sus lados

 

A = \cfrac{\left | \vec{u} \times \vec{v} \right |}{2}.

 

Ejemplo: Calcular el área de un triángulo cuyos vértices son: A(1, 1, 3), B(2, -1, 5) y C(-3, 3, 1).

 

1Primero calculamos los vectores de dos lados

 

\vec{u} = \overrightarrow{AB} = (2 - 1, -1 - 1, 5 - 3) = (1, -2, 2).

 

\vec{v} = \overrightarrow{AC} = (-3 - 1, 3 - 1, 1 - 3) = (-4, 2, -2).

 

2Calculamos el  producto vectorial de \vec{u} y \vec{v}

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \times \vec{v} & = & \left | \begin{array}{rrr} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ -4, & 2 & -2 \end{array} \right | \\\\ & = & \left | \begin{array}{rr} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{array}  \right | \hat{i} - \left | \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ -4 & -2 \end{array}  \right | \hat{j} + \left | \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ -4 & 2 \end{array}  \right | \hat{k}   \\\\ & = &  -6 \hat{j} - 6 \hat{k}  \\\\  & = & (0, -6, -6) \end{array}.

 

3Calculamos la magnitud de \vec{u} \times \vec{v}

 

\begin{array}{rcl} \left | \vec{u} \times \vec{v} \right | & = & \sqrt{0^2 + (-6)^2 + (-6)^2} \\\\ & = & 6 \sqrt{2}\end{array}.

 

4Así, el área buscada es

 

A = \cfrac{6 \sqrt{2}}{2} = 3 \sqrt{2} \, u^2.