Question

1.Wiedząc że sinalfa-cosalfa=1/2
Wyznacz wartość sin2alfa

2. Przyjmujemy ze sinalfa=0,7.
Oblicz sin4alfa/cosalfa. Wynik zakoduj wypisując 3 kolejne cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku

Answer 1

Odpowiedź:

Podpunkt 1

Rozpiszmy najpierw dane:
[tex]sin (\alpha)-cos(\alpha)=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]sin(2\alpha)=2sin(\alpha)cos(\alpha)[/tex]

Aby to policzyć ,warto pamiętać o jedynce trygonometrycznej i o tym, że
[tex](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/tex] .
Wyliczenia znajdują się poniżej:

[tex]2sin (\alpha)cos(\alpha)= sin(2\alpha) \\ \\sin (\alpha)-cos(\alpha)=\frac{1}{2} \ \ |^2\\sin^2 (\alpha)-2sin (\alpha)cos(\alpha)+cos^2(\alpha)=\frac{1}{4} \\sin^2(\alpha)-sin(2\alpha)+cos^2(\alpha)=\frac{1}{4}\\1 -sin(2\alpha)=\frac{1}{4} \ \ |-1\\ -sin(2\alpha) = - \frac{3}{4} \\sin(2\alpha)=\frac{3}{4}=0,75[/tex]

Odpowiedź: sin(2α)=0,75

Podpunkt 2

Zapiszmy tutaj również dane i przekształćmy sin(4α) do najprostszej postaci:
[tex]sin(\alpha)=0,7[/tex]

[tex]sin(2\alpha)=2sin(\alpha)cos(\alpha)\\cos(2\alpha) = 2cos^2(\alpha)-1 \\\\sin(4\alpha)=2sin(2\alpha)cos(2\alpha)=2*(2sin(\alpha)cos(\alpha))*(2cos^2(\alpha)-1)[/tex]

Z jedynki trygonometrycznej obliczmy cos(α)
[tex]sin(\alpha)=0,7\\sin^2(\alpha)=0,49\\sin^2(\alpha)+cos^2(\alpha)=1\\cos^2(\alpha)=1-sin^2(\alpha)=1-0,49=0,51\\cos(\alpha)=0,714142842854285[/tex]

Po tych wyliczeniach jesteśmy w stanie wyliczyć pożądane działanie
[tex]\frac{sin(4\alpha)}{cos(\alpha)} = \frac{2*(2sin(\alpha)cos(\alpha))*(2cos^2(\alpha)-1)}{cos(\alpha)} \\ \\\frac{2*(2*0,7*0,714142842854285)*(2*0,51-1)}{0,714142842854285}\approx0,056[/tex]



Odpowiedź: 0,056

Szczegółowe wyjaśnienie:

W zadaniu korzystano ze wzorów trygonometrycznych oraz jedynki trygonometrycznej. W przypadku sin(4α) rozpisano to wyrażenie korzystając zarówno z wzorów na  sin(2α) jak i cos(2α)

#SJP1