Question

1.Tunjukkan bahwa:

a.sin(A + B)/(sin(A - B) = (tan A + tan B)/(tan A - tan B)
b.sin(A + B)/(sin A sin B) = cotan A + cotan B
c.sin(A - B)/(sin A sin B) = cotan B - cotan A
d.sin(A - B)/(cos A cos B) = tan A - tan B

tolong dijawab ya kak​

Answer 1

Penjelasan dengan langkah-langkah:

a. Untuk membuktikan bahwa sin(A + B)/(sin(A - B) = (tan A + tan B)/(tan A - tan B), kita dapat menggunakan identitas trigonometri berikut:

- sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B

- sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B

- tan A = sin A / cos A

- tan B = sin B / cos B

Dengan menggabungkan identitas trigonometri di atas, kita dapat menuliskan:

sin(A + B)/(sin(A - B)) = (sin A cos B + cos A sin B)/(sin A cos B - cos A sin B)

Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan persamaan tersebut dengan menggunakan identitas trigonometri tambahan, yaitu:

- sin 2x = 2 sin x cos x

Dengan menggunakan identitas ini, kita dapat menuliskan:

sin 2A = 2 sin A cos A

sin 2B = 2 sin B cos B

Sehingga, persamaan awal dapat dituliskan ulang menjadi:

(2 sin A cos B) / (2 sin A cos B) = (sin A/cos A + sin B/cos B) / (sin A/cos A - sin B/cos B)

Dengan menyederhanakan persamaan tersebut, maka akan didapatkan:

sin(A + B)/(sin(A - B) = (tan A + tan B)/(tan A - tan B)

Sehingga, persamaan tersebut terbukti.

b. Untuk membuktikan bahwa sin(A + B)/(sin A sin B) = cotan A + cotan B, kita dapat menggunakan identitas trigonometri berikut:

- sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B

- sin A sin B = (1/2)(cos(A - B) - cos(A + B))

- cotan A = cos A / sin A

- cotan B = cos B / sin B

Dengan menggabungkan identitas trigonometri di atas, kita dapat menuliskan:

sin(A + B)/(sin A sin B) = (sin A cos B + cos A sin B) / (1/2)(cos(A - B) - cos(A + B))

Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan persamaan tersebut dengan mengubah cos(A - B) - cos(A + B) menjadi -2 sin A sin B, sehingga akan didapatkan:

sin(A + B)/(sin A sin B) = -2 (sin A cos B + cos A sin B) / (2 sin A sin B)

Dengan menyederhanakan persamaan tersebut, maka akan didapatkan:

sin(A + B)/(sin A sin B) = cotan A + cotan B

Sehingga, persamaan tersebut terbukti.

c. Untuk membuktikan bahwa sin(A - B)/(sin A sin B) = cotan B - cotan A, kita dapat menggunakan identitas trigonometri berikut:

- sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B

- sin A sin B = (1/2)(cos(A - B) - cos(A + B))

- cotan A = cos A / sin A

- cotan B = cos B / sin B

Dengan menggabungkan identitas trigonometri di atas, kita dapat menuliskan:

sin(A - B)/(sin A sin B) = (sin A cos B - cos A sin B) / (1/2)(cos(A - B) - cos(A + B))

Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan persamaan tersebut dengan mengubah cos(A - B) - cos(A + B) menjadi -2 sin A sin B, sehingga akan didapatkan:

sin(A - B)/(sin A sin B) = -2 (sin A cos B - cos A sin B) / (2 sin A sin B)

Dengan menyederhanakan persamaan tersebut, maka akan didapatkan:

sin(A - B)/(sin A sin B) = cotan B - cotan A

Sehingga, persamaan tersebut terbukti.

d. Untuk membuktikan bahwa sin(A - B)/(cos A cos B) = tan A - tan B, kita dapat menggunakan identitas trigonometri berikut:

- sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B

- cos A = 1 / sec A

- cos B = 1 / sec B

- tan A = sin A / cos A

- tan B = sin B / cos B

Dengan menggabungkan identitas trigonometri di atas, kita dapat menuliskan:

sin(A - B)/(cos A cos B) = (sin A cos B - cos A sin B) / (1/sec A)(1/sec B)

Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan persamaan tersebut dengan mengubah 1/sec A dan 1/sec B menjadi cos A dan cos B, sehingga akan didapatkan:

sin(A - B)/(cos A cos B) = (sin A cos B - cos A sin B) / (cos A cos B)

Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan persamaan tersebut, maka akan didapatkan:

sin(A - B)/(cos A cos B) = tan A - tan B

Sehingga, persamaan tersebut terbukti.

maaf jika salah jadikan jawaban tercerdas