==WAKTUNYA KUIS== [MATEMATIKA +50] Diketahui bahwa a, b, dan c memenuhi persamaan yang ada di gambar.... Question from @BlackRanger

August 2022 1 22 Report

==WAKTUNYA KUIS== [MATEMATIKA +50]

Diketahui bahwa a, b, dan c memenuhi persamaan yang ada di gambar. Apabila nilai a, b, dan c tidak sama dengan 0, maka banyaknya pasangan (a, b, c) yang memenuhi persamaan tersebut adalah ...

Jawaban harus lengkap dan memiliki cara, kalau tidak dihapus.
Yg jawabannya hanya komentar/ngomong kotor/bahasa alien/copas dapet warn
Yg jawabannya lebih lengkap yg dapet BA

henriyulianto

Ada 7 pasangan (a, b, c) yang memenuhi, yaitu (1, 6, 2), (2, 4, 3), (3, 2, 4), (4, 8, 6), (5, 6, 7), (6, 4, 8), dan (7, 2, 9).
 

Pembahasan

Diketahui

Persamaan:

$\overline{abc}+\overline{ab}+\overline{bc}+\overline{ca}=\overline{cba}$

dengan $a$ , $b$ , dan $c$ tidak sama dengan 0.

Ditanyakan

Banyak pasangan (a, b, c) yang memenuhi persamaan tersebut.

PENYELESAIAN

Baik $abc$ , $ab$ , $bc$ , maupun $cba$ merupakan rangkaian angka/digit satuan, bukan merupakan perkalian variabel.

Maka:

$\begin{aligned}&\overline{abc}+\overline{ab}+\overline{bc}+\overline{ca}=\overline{cba}\\&\quad{\rm dengan\ }a,b,c\ne 0\\{\Rightarrow\ }&\overline{ab}+\overline{bc}+\overline{ca}=\overline{cba}-\overline{abc}\\{\Rightarrow\ }&10(a+b+c)+a+b+c\\&=100(c-a)+10(b-b)+a-c\\{\Rightarrow\ }&11(a+b+c)=100(c-a)-(c-a)\\{\Rightarrow\ }&11(a+b+c)=99(c-a)\\{\Rightarrow\ }&a+b+c=9(c-a)\\\end{aligned}$

9 habis membagi $a+b+c$ , atau $a+b+c$ adalah kelipatan 9. Karena baik $a$ , $b$ , maupun $c$ adalah angka satuan, maka nilai terbesar masing-masing adalah 9, sehingga:

$\begin{aligned}&0 < a+b+c < 27\\\Rightarrow\ &0 < 9(c-a) < 27\\\therefore\ &0 < c-a < 3\end{aligned}$

Nilai $c-a$ tidak boleh 0, karena dengan $c-a=0$ akan menyebabkan $a+b+c = 0$ , yang juga menyebabkan nilai $b$ negatif dengan $a=c$ dan $a,c > 0$ , atau sebaliknya.

Nilai $c-a$ juga tidak boleh kurang dari 0, yang mengakibatkan $c < a$ , karena $\overline{cba} > \overline{abc}$ harus terpenuhi.

Jika $c-a = 1,$ maka:

$\begin{aligned}a+b+a+1&=9\\2a+b&=8\\\therefore\ b&=2(4-a)\end{aligned}$

Nilai $b$ yang mungkin adalah 2, 4, dan 6. $b=8$ tidak memenuhi karena mengakibatkan a=0.

Jadi, untuk kasus ini, ada 3 pasangan (a, b, c) yang memenuhi, yaitu:

(1, 6, 2): 162 + 16 + 62 + 21 = 261
⇒ benar!
(2, 4, 3): 243 + 24 + 43 + 32 = 342
⇒ benar!
(3, 2, 4): 324 + 32 + 24 + 43 = 423
⇒ benar!

Jika $c-a = 2$ , maka:

$\begin{aligned}a+b+a+2&=9\cdot2\\2a+b&=16\\\therefore\ b&=2(8-a)\end{aligned}$

Nilai $b$ yang mungkin adalah 2, 4, 6, dan 8.

Jadi, untuk kasus ini, ada 4 pasangan (a, b, c) yang memenuhi, yaitu:

(4, 8, 6): 486 + 48 + 86 + 64 = 684
⇒ benar!
(5, 6, 7): 567 + 56 + 67 + 75 = 765
⇒ benar!
(6, 4, 8): 648 + 64 + 48 + 86 = 846
⇒ benar!
(7, 2, 9): 729 + 72 + 29 + 97 = 927
⇒ benar!

Mengapa kasus $c-a = 3$ tidak memenuhi, atau nilai $c-a$ harus kurang dari 3?

Jika $c-a = 3$ , maka:

$\begin{aligned}a+b+a+3&=9\cdot3\\2a+b&=24\\\therefore\ b&=2(12-a)\end{aligned}$

Dari persamaan terakhir, sebagai dugaan awal, nilai $b$ yang mungkin adalah 6 dan 8, karena nilai $12-a$ yang mungkin adalah 3 dan 4.

Namun dengan $12-a=3$ atau $12-a=4$ , nilai $c=a+3$ akan lebih dari 9, padahal $c$ adalah angka satuan, seperti halnya $a$ dan $b$ .

$\blacksquare$

KESIMPULAN

∴ Dengan demikian, ada 7 pasangan (a, b, c) yang memenuhi persamaan $\overline{abc}+\overline{ab}+\overline{bc}+\overline{ca}=\overline{cba}$ , yaitu:
(1, 6, 2), (2, 4, 3), (3, 2, 4), (4, 8, 6), (5, 6, 7), (6, 4, 8), dan (7, 2, 9).