Question

Considera el sistema de ecuaciones siguiente (el de la imagen):

a) Di para qué valores del parámetro al sistema es incompatible.

b) Resuelve el sistema para el valor de a el cual el sistema es compatible y encuentra una solución entera.

Answer 1

Para la solución de este ejercicio aplicamos el teorema de Rouche Frobenius. Con él sabremos que el sistema de ecuaciones lineales puede ser: 

Compatible y determinado (= a una única solución) 
rango del determinante de la matriz A = rango del determinante de la matriz ampliada = número de incógnitas (en este caso 3)  
 
                         r(A) = r (A*) = n 
Esta es la opción que necesitamos para resolver la segunda parte del ejercicio. 

Compatible e indeterminado (tiene múltiples soluciones) 
rango de la matriz A = rango de la matriz ampliada ≠  número de incógnitas  
                          r(A) = r(A*) ≠ n 

Incompatible (no tiene solución) 
rango de la matriz A ≠ rango de la matriz ampliada  
aplicaremos este punto para hallar el primer apartado del ejercicio porque necesitamos que sea incompatible. 
                
                            r(A) ≠ r(A*)
       
hallamos el rango de la matriz A (que es la matriz de las 3 incógnitas x, y , z )

  x -  2y + 3z  = 3
- x + 2y + 2z  = 1           
 7x - 10y + z  = a
 

= 4 - 24  = -20 

el determinante de (A) es ≠ 0  luego el rango de A = 3 

debemos buscar el valor de "a"  para  que el rango de la matriz ampliada sea diferente al de la matriz A , es decir que no sea rango 3. 

Eso lo logramos si conseguimos dar un valor a "a" que haga el valor de la matriz ampliada = 0

probamos combinando las columnas  y (eliminando la columna de las y) obtenemos. 

 
=2a + 18 + 3a- 43 = 5a - 25

                                    25           
 ⇒   5a = 25   ⇒  a = ------- = 5     
                                     5

Para el valor a = 5 el sistema de ecuaciones será incompatible.
 (el rango de la matriz ampliada será = 0  y el rango no será 3 ) 
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Debemos obtener el valor de "a" para que el rango de la matriz ampliada sea 3  (el valor sea ≠ 0) al igual que la matriz A 

debo conseguir que tenga rango 3 


Para a = 1   la matriz ampliada será ≠ 0 y por lo tanto de rango 3 
Me quedé aquí....