Question

¿ como se resuelve un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas???

Answer 1

EJEMPLO:
Se usa el metodo de reduccion. 

1.) x+y+z+u=10 
2.) 2x-y+3z-4u=9 
3.) 3x+2y-z+5u=13 
4.) x-3y+2z-4u=-3 

**Eliminamos la u, en la ecucion 1 y 2. Si te das cuenta en la primera ecuacion la "u" tiene un 1 imaginario y en la dos -4u, debemos de convertir la ecuacion 1 para que esa "u" se convierta en +4u y poder eliminarla con la de la ecuacion 2. Para eso solamente multiplicamos por toda la ecuacion con un numero que por "u" de de como resultado 4u, obviamente ese numero es 4 y por eso multiplicamos por toda la ecuacion. 

1.) x+y+z+u=10 -----> 4( x+y+z+u=10) ----> 4x + 4y + 4z + 4u = 40 
2.) 2x-y+3z-4u=9 


1.) 4x + 4y + 4z + 4u = 40 
2.) 2x - y + 3z - 4u = 9 
------------------------------ 
5.) 6x + 3y + 7z = 49 

Si te das cuenta arriba me quedo +4u y abajo -4u, automaticamente se eliminan. 

**Ahora Eliminamos la u, en la ecucion 1 y 3. 

Ec. 1) -5 (x+y+z+u=10) ---> -5x - 5y - 5z - 5u = -50 

1.) -5x - 5y - 5z - 5u = -50 
3.) 3x + 2y - z + 5u = 13 
....----------------------------- 
6.) -2x - 3y -6z = -37 

**Ahora Eliminamos la u, en la ecucion 1 y 4. 

1.) 4 (x+y+z+u=10) ----> 4x + 4y + 4z + 4u = 40 

1.) 4x + 4y + 4z + 4u = 40 
4.) x - 3y + 2z - 4u = -3 
....------------------------------- 
7.) 5x + y + 6z = 37 

**Como veras, ahora tenemos 3 ecuaciones cuando eliminamos la u.Haces lo mismo que en las anteriores. 

5.) 6x + 3y + 7z = 49 
6.) -2x - 3y -6z = -37 
7.) 5x + y + 6z = 37 

**Eliminamos la z en la ecuacion 5 y 6. 

5.) 6x + 3y + 7z = 49 ----> 6(6x + 3y + 7z = 49) -----> 36x + 18y + 42z = 294 
6.) -2x - 3y -6z = -37 ----> 7 (-2x - 3y -6z = -37) -----> -14x - 21y - 42z = -259 

5.) 36x + 18y + 42z = 294 
6.) -14x - 21y - 42z = -259 
----------------------------------- 
8.) 22x - 3y = 35 

**Eliminamos la z en la ecuacion 5 y 7. 

5.) 6x + 3y + 7z = 49 ----> -6(6x + 3y + 7z = 49) -----> -36x - 18y - 42z = -294 
7.) 5x + y + 6z = 37 -----> 7 (5x + y + 6z = 37 ) -----> 35x + 7y + 42z = 259 

5.) -36x - 18y - 42z = -294 
7.) 35x + 7y + 42z = 259 
----------------------------------- 
9.) -x - 11y = -35 

**Ahora, nos quedaron dos ecuaciones. 

8.) 22x - 3y = 35 
9.) -x - 11y = -35 


**En esta eliminaremos la y. 

8.) 22x - 3y = 35 -----> -11 (22x - 3y = 35) ----> -242x + 33y = -385 
9.) -x - 11y = -35 -----> 3 ( -x - 11y = -35 ) -----> -3x - 33y = -105 

8.) -242x + 33y = -385 
9.) -3x - 33y = -105 
------------------------------ 
-245x = -490 
x = -490/-245 
x = 2 

**Al fin hemos encontrado x, ahora encontremos "y" en la ecuacion 9. 

9.) -x - 11y = -35 ---> y = (x -35)/-11 -----> y= (2 - 35)/-11 ----> y = -33/-11 ----> y = 3 


**Ahora que tenemos X y Y las sustituimos en cualquiera de las ecuaciones 5, 6 o 7. 

5.) 6x + 3y + 7z = 49 
6.) -2x - 3y -6z = -37 
7.) 5x + y + 6z = 37 


Despejaremos z la ecuacion 5. 
5.) 6x + 3y + 7z = 49 ---> z = (49 - 6x - 3y)/7 ----> z = (49 - 6(2) - 3(3)) /7 ----> z = (49 -12 -9)/7 ---> 

z= 4 

**Encontramos que x = 2 ; y = 3 ; z = 4. Sustituimos los valores en cualquiera de las primeras ecuaciones. La sustituire en la primera ecuacion. 

1.) x+y+z+u=10 
2.) 2x-y+3z-4u=9 
3.) 3x+2y-z+5u=13 
4.) x-3y+2z-4u=-3 

Despejamos u. 

1.) x+y+z+u=10 ---> u = 10 - x - y - z ---> u = 10 - 2 -3 -4 ----> u = 10 - 8 ----> u = 2 


POR LO TANTO TENEMOS QUE... 

X= 2 
Y = 3 
Z = 4 
U = 2