Como se resuelve esto p(x)=sen(3x)+sen(x) mi hermano quiere que lo resuelva ayudenme.... Question from @Jenite

October 2018 1 22 Report

Como se resuelve esto p(x)=sen(3x)+sen(x) mi hermano quiere que lo resuelva ayudenme

seeker17 Bueno me imagino que necesitas como que factorizar eso...es caso de ser el caso, me avisas cual es la orden y lo corrijo...
Hasta mientras..vamos a hacer lo siguiente, el propósito es reducir esa expresión a términos mucho más sencillos, en éste caso vamos a llevar todo para que nos quede en función de sin(x)..Para lo cual, puedes aprenderte la fórmula del desarrollo...pero es mejor si sabes el camino para obtener cualquier expresión..solo basta que te aprendas la siguiente identidad trigonométrica

$sin ^{2} (x)+cos ^{2} (x)=1$

Adicional,
$sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a) \\ Supongamos: a=b \\ sin(2a)=sin(a+a)=sin(a)cos(a)+sin(a)cos(a)=2sin(a)cos(a) \\ \\ cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) \\ Supongamos:a=b \\ cos(2a)=cos(a+a)=cos(a)cos(a)-sin(a)sin(a)= cos^{2}(x) -sin ^{2} (a)$

Sabiendo todo ésto vamos a resolver el problema:

$><br /><br />Ahora si despejamos el coseno cuadrado de la primera identidad que puse y reemplazamos aquí..<br /><br /><img src=$

Y llegamos a una ecuación que está en función de senos de "x"..ahora podemos tomar el seno de "x" y ponerme un nombre una letra

$sin(x)=r$

haciendo éste reemplazo nos quedaría así

$f(r)=4r- 4r^{3}$

Ahora si quieres saber el valor de r, es decir los puntos de cortes con el eje "x"..entonces hacemos que f(r)=0 y nos quedaría así

$0=4r-4 r^{3} \\4r-4 r^{3} =0$

Podemos factorizar verdad?...sacar factor común

$4r(1- r^{2} )=0$

Usamos el teorema del factor nulo, que nos dice
$si:(a)(b)=0$ ésto quiere decir que $a=0$ o $b=0$

aplicamos eso a lo anterior...es decir igualamos a cada factor a cero

para el primero

$4r=0 \\ r=0$
Pero si recuerdas r=sin(x)

$sin(x)=0 \\ x=arcsin(0) \\ x=0$
estás de acuerdo?...pero si te fijas en la gráfica del seno la función se hace cero cada; primero se hace cero en (0) luego en (180) luego en luego en (360)...o el radianes...se hace cero en (0) luego en (pi) luego en (2pi)..eso significa que la solución no es solamente el cero..sino la solución se repite cada 2(pi)k donde k pertenece a los enteros

Ahora para el segundo factor tenemos

$1- r^{2} =0 \\ r^{2} =1 \\ Pero: \\ r=sin(x) \\ sin ^{2} (x)=1 \\ |sin(x)|= \sqrt{1}$
Nos queda un valor absoluto entonces significa dos cosas
$Cosa _{1} : \\ sin(x)=+1$
$Cosa _{2} : \\ sin(x)=-1$

Entonces el arcoseno de -1 viendo la gráfica del seno es -90 es decir -(pi/2)
pero estás de acuerdo que el signo menos solo me dice que el ángulo está en sentido horario...por eso es negativo...si quiero que sea positivo..entonces decimos que

$- \frac{ \pi }{2} = \frac{3}{2} \pi$

Pero no es la única respuesta...ésta respuesta se repite cada 2(pi)
Ahora para la cosa 1

pasa lo mismo....el arco seno de 1 es 90...es lo mismo que (pi/2)

aquí no hay problema...entonces ésta no es la única respuesta..se repite cada 2(pi)

En síntesis nos quedaría así

$Cuando: \\ sin(x)=0:x= \pi +2 \pi k \\ Cuando: \\ sin(x)=1:x= \frac{ \pi }{2} +2 \pi k \\ Cuando: \\ sin(x)=-1:x= \frac{3}{2} \pi +2 \pi k$
Donde k pertenece a los enteros...

y eso sería todo

Nota: es un poco largo, cuando no sabes las fórmulas...pero viste que con una sola identidad y dos propiedades que tienes que sabértelas puedes fácilmente deducir cualquier cosa...ahora éste último análisis es un poco difícil de entenderlo aveces...para eso tienes que acordarse de la gráfica del seno..y todo se hace fácil...y aún más si quieres ayudarle a tu hermano...:3...

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Jenite o mi dios gracias

seeker17 Bueno los primeros pasos, no son necesarios porque existe la fórmula del seno del ángulo triple puedes buscarla y la reemplazas...solo que yo me gusta eso...es mejor que sepas como sacra una respuesta utilizando cosas sumamente básicas..así no tienes la necesidad de aprender varias fórmulas...Si es algo largo...jeje..no te asustes...es bonito..:3

Jenite uuu

Jenite gracias