Circulación de dinero Un país tiene 1000 millones de dólares de papel moneda en
circulación. Cada semana, 25 millones se llevan a depositar a los bancos y la misma
cantidad se paga. El gobierno decide reimprimir papel moneda nuevo; siempre que el
papel moneda viejo llega a los bancos, se destruye y se reemplaza por nuevo. Sea y la
cantidad de papel viejo (en millones de dólares) en circulación en el tiempo t (en
semanas). Entonces y satisface la ecuación diferencial
dy
dt =-0.025
¿Cuánto tiempo será necesario para que el 95% del papel moneda en circulación quede
reemplazado por papel nuevo? Redondee su respuesta a la semana más cercana. (Una
pista: Si el 95% del papel es nuevo, entonces y es 5% de 1000.)
circulación. Cada semana, 25 millones se llevan a depositar a los bancos y la misma
cantidad se paga. El gobierno decide reimprimir papel moneda nuevo; siempre que el
papel moneda viejo llega a los bancos, se destruye y se reemplaza por nuevo. Sea y la
cantidad de papel viejo (en millones de dólares) en circulación en el tiempo t (en
semanas). Entonces y satisface la ecuación diferencial
dy
dt =-0.025
¿Cuánto tiempo será necesario para que el 95% del papel moneda en circulación quede
reemplazado por papel nuevo? Redondee su respuesta a la semana más cercana. (Una
pista: Si el 95% del papel es nuevo, entonces y es 5% de 1000.)
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RESPUESTA:
Tenemos la siguiente ecuación diferencial
dy/dt = -0.025y
Por tanto, separamos y resolvemos mediante la integración, tenemos que:
dy/y = -0.025·dt
Integramos:
∫dy/y = -0.025·∫dt
Consideramos que serán evaluadas en sus mismas variables, entonces:
ln(y/y₀) = -0.025·t
Ahora, debemos buscar el tiempo para cuando queda un 5% de papel en la calle, es decir:
ln(0.05) = -0.025·t
t = 119.82 semanas
Por tanto, tenemos que bajo las condiciones dadas será recolectado el 95% de los billetes en 120 semanas.