Zadanie 1.
a)
[tex]a_1=2^1-1=2-1=1\\a_2=2^2-2=4-2=2\\a_3=2^3-3=8-3=5\\a_4=2^4-4=16-4=12\\a_5=2^5-5=32-5=27[/tex]
b)
[tex]a_1=(-1)^{1+1}+1=(-1)^2+1=1+1=2\\a_2=(-1)^{2+1}+2=(-1)^3+2=-1+2=1\\a_3=(-1)^{3+1}+3=(-1)^4+3=1+3=4\\a_4=(-1)^{4+1}+4=(-1)^5+4=-1+4=3\\a_5=(-1)^{5+1}+5=(-1)^6+5=1+5=6[/tex]
c)
[tex]a_1=\frac{1-1}{1+1}=\frac{0}{2}=0\\a_2=\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3}\\a_3=\frac{3-1}{3+1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\\a_4=\frac{4-1}{4+1}=\frac{3}{5}\\a_5=\frac{5-1}{5+1}=\frac{4}{6}=frac{2}{3}[/tex]
Zadanie 2.
[tex]a_n=n^2+6n+5\\n^2+6n+5=0\\\Delta=6^2-4*1*5=36-20=16\\\sqrt\Delta=4\\n_1=\frac{-6-4}{2}=\frac{-10}{2}=-5 < 0\text{ odrzucam}\\n_2==\frac{-6+4}{2}=\frac{-2}{2}=-1 < 0\text{ odrzucam}[/tex]
Odp: Ciąg nie ma wyrazów równych 0.
[tex]a_n=n^2+1\\n^2+1=0\\\Delta=0^2-4*1*1=0-4=-4 < 0[/tex]
[tex]a_n=n^2(n-3)\\n^2(n-3)=0\\n^2=0\ \vee\ n-3=0\\n=0\ \vee\ n=3[/tex]
Odrzucam wartość 0, więc ciąg ma jeden wyraz równy 0. Tym wyrazem jest [tex]a_3[/tex].
Zadanie 3.
[tex]a_n=n^2-2n\\a_{n+1}-a_n=(n+1)^2-2(n+1)-(n^2-2n)=n^2+2n+1-2n-2-n^2+2n=\\=2n-1[/tex]
Powyższa różnica jest dodatnia dla każdej liczby naturalnej dodatniej, więc ciąg jest rosnący.
[tex]a_n=4n-2\\a_{n+1}-a_n=4(n+1)-2-(4n-2)=4n+4-2-4n+2=4[/tex]
Zadanie 4.
[tex]\left\{\begin{array}{l}a_1=1\\a_{n+1}=3a_n-n^2\end{array}\right.\\a_1=1\\a_2=3*1-1^2=3-1=2\\a_3=3*2-2^2=6-4=2\\a_4=3*2-3^2=6-9=-3\\a_5=3*(-3)-4^2=-9-16=-25\\a_6=3*(-25)-5^2=-75-25=-100[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{l}a_1=-1\\a_{n+1}}=a_n^2-4a_n\end{array}\right.\\a_1=-1\\a_2=(-1)^2-4*(-1)=1+4=5\\a_3=5^2-4*5=25-20=5\\a_4=5^2-4*5=25-20=5\\a_5=5^2-4*5=25-20=5\\a_6=5^2-4*5=25-20=5[/tex]
" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "
© Copyright 2013 - 2024 KUDO.TIPS - All rights reserved.
Verified answer
Zadanie 1.
a)
[tex]a_1=2^1-1=2-1=1\\a_2=2^2-2=4-2=2\\a_3=2^3-3=8-3=5\\a_4=2^4-4=16-4=12\\a_5=2^5-5=32-5=27[/tex]
b)
[tex]a_1=(-1)^{1+1}+1=(-1)^2+1=1+1=2\\a_2=(-1)^{2+1}+2=(-1)^3+2=-1+2=1\\a_3=(-1)^{3+1}+3=(-1)^4+3=1+3=4\\a_4=(-1)^{4+1}+4=(-1)^5+4=-1+4=3\\a_5=(-1)^{5+1}+5=(-1)^6+5=1+5=6[/tex]
c)
[tex]a_1=\frac{1-1}{1+1}=\frac{0}{2}=0\\a_2=\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3}\\a_3=\frac{3-1}{3+1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\\a_4=\frac{4-1}{4+1}=\frac{3}{5}\\a_5=\frac{5-1}{5+1}=\frac{4}{6}=frac{2}{3}[/tex]
Zadanie 2.
a)
[tex]a_n=n^2+6n+5\\n^2+6n+5=0\\\Delta=6^2-4*1*5=36-20=16\\\sqrt\Delta=4\\n_1=\frac{-6-4}{2}=\frac{-10}{2}=-5 < 0\text{ odrzucam}\\n_2==\frac{-6+4}{2}=\frac{-2}{2}=-1 < 0\text{ odrzucam}[/tex]
Odp: Ciąg nie ma wyrazów równych 0.
b)
[tex]a_n=n^2+1\\n^2+1=0\\\Delta=0^2-4*1*1=0-4=-4 < 0[/tex]
Odp: Ciąg nie ma wyrazów równych 0.
c)
[tex]a_n=n^2(n-3)\\n^2(n-3)=0\\n^2=0\ \vee\ n-3=0\\n=0\ \vee\ n=3[/tex]
Odrzucam wartość 0, więc ciąg ma jeden wyraz równy 0. Tym wyrazem jest [tex]a_3[/tex].
Zadanie 3.
a)
[tex]a_n=n^2-2n\\a_{n+1}-a_n=(n+1)^2-2(n+1)-(n^2-2n)=n^2+2n+1-2n-2-n^2+2n=\\=2n-1[/tex]
Powyższa różnica jest dodatnia dla każdej liczby naturalnej dodatniej, więc ciąg jest rosnący.
b)
[tex]a_n=4n-2\\a_{n+1}-a_n=4(n+1)-2-(4n-2)=4n+4-2-4n+2=4[/tex]
Powyższa różnica jest dodatnia dla każdej liczby naturalnej dodatniej, więc ciąg jest rosnący.
Zadanie 4.
a)
[tex]\left\{\begin{array}{l}a_1=1\\a_{n+1}=3a_n-n^2\end{array}\right.\\a_1=1\\a_2=3*1-1^2=3-1=2\\a_3=3*2-2^2=6-4=2\\a_4=3*2-3^2=6-9=-3\\a_5=3*(-3)-4^2=-9-16=-25\\a_6=3*(-25)-5^2=-75-25=-100[/tex]
b)
[tex]\left\{\begin{array}{l}a_1=-1\\a_{n+1}}=a_n^2-4a_n\end{array}\right.\\a_1=-1\\a_2=(-1)^2-4*(-1)=1+4=5\\a_3=5^2-4*5=25-20=5\\a_4=5^2-4*5=25-20=5\\a_5=5^2-4*5=25-20=5\\a_6=5^2-4*5=25-20=5[/tex]